Gilbert Strang：线性代数、深度学习、教学与 MIT 开放课程
Gilbert Strang: Linear Algebra, Deep Learning, Teaching, and MIT OpenCourseWare
嘉宾：Gilbert Strang
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下面是与 Gilbert Strang 的对话。他是麻省理工学院的数学教授，也许是世界上最著名、最有影响力的数学教师之一。他在 MIT OpenCourseWare 上关于线性代数的课程已经获得数百万次观看。读本科时，我就是这数百万名学生中的一员。
他的教学方式很鼓舞人心：既平静、简单，又充满对数学内在优雅的热情。我记得做他所著《线性代数导论》里的练习时，慢慢意识到，矩阵、向量空间、行列式与特征值、几何变换以及矩阵分解的世界，
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我亲眼见过它激励男孩女孩梦想着用工程学创造一个更美好的世界。现在，来听我与 Gilbert Strang 的对话。成为当今数学界的摇滚明星是什么感觉？我不觉得自己像摇滚明星，那对一个老数学人来说有点疯狂；但确实，我大概在 2000 年制作的线性代数视频被观看了很多次。一部分原因当然是线性代数的重要性——我相信你一定会问到，也给我一个机会谈谈这一点——线性代数
作为一门学科，近来变得极其重要、发展迅速。但这也因为那是我教过很多次的一门课，所以我逐渐把它组织得很好，也很享受教学。那些视频其实就是那门课本身。它们被放在 OpenCourseWare 和 YouTube 上，也被翻译成了其他语言。这很有趣。不过，你在黑板前讲解基础概念时的那种简洁方式，确实有一些特别之处，
尤其是在一开始。说实话，我读本科时，当然也学过线性代数。对，当然学过。不过，在我参加大学课程之前，我先学习了 OpenCourseWare；那时你就是我的老师。哦，是这样。对。
而且我们还在用你的书。我的意思是，成千上万——不，是数十万、数百万人观看那些视频，这件事真的很有力量。那么，你怎么看把课程放到网上这件事？MIT OpenCourseWare 确实做出了创新，那是个很棒的想法。我听说的故事是，当时校长 Vest 任命了一个委员会，他是个很棒的人。委员会的任务是想办法让 MIT 像其他大学那样，把我们所做的工作进行市场化；然后他们没有找到办法，周末过后，他们突然有了一个灵感，回去对 Vest 校长说：要不我们干脆把它免费送出去？他觉得，好主意。所以你知道，这个想法很疯狂。如果把大学看作生产某种产品的机构，那么知识——教育知识——并不是那种应该被当作产品、不能免费提供出去的东西。
他们想的是，MIT 怎样才能像其他大学一样，把我们所做的工作推向市场。之后他们没有找到办法；一个周末过后，他们产生了灵感，回去对 Vest 校长说：如果我们把它直接免费提供出去呢？他认为这是个好主意。所以，这确实是个疯狂的想法。如果我们把大学看成创造产品的机构，那么教育知识并不是一种必须被当作商品、不能分享出去的产品。
你惊讶它真的实行了吗？他确实做到了。嗯，了解一些 Vest 校长之后，我觉得这很符合他的性格，而且这确实是正确的想法。MIT 以高水平的技术内容闻名，而这是展示 MIT 真正面貌的最佳方式。就我来说，那 18.06 课程的视频就是在教这门课；它们原本是在 26-100 教室里录制的。看起来也挺有趣。有人写信告诉我：“原来你还有幽默感。”但我也不知道那是怎么体现出来的；和课堂相处时，就是有一种友好的感觉。
我喜欢学生。而在线性代数这件事上，我们不得不把大部分功劳归给这门学科本身。近年来它确实越来越重要。我们来聊聊线性代数吧，因为它既是数学中强大又美丽的一个分支。那么，在线性代数，甚至数学的一般领域里，你最喜欢讲哪个具体主题？我会试着通过讲故事来教学生。
好。从教学角度说，这根本不是什么深奥的数学，但我对“四个子空间”、四个基本子空间这个想法颇为自豪。当然，它们早在我给它们命名之前就已为人所知。你能讲讲它们吗？能从第一个开始吗？当然可以。首先要理解的是矩阵，或许我应该先说说矩阵。
什么是矩阵？矩阵是什么？我们有一个数字组成的矩形。它有若干列，也有 M 行。列和行之间当然存在某种联系，因为它们包含的是同一批数字，但这种联系并不简单。列可能比行长，它们的排列也不同，数字混杂在一起。首先可以思考的是这些列。
这些列就是向量，也就是高维空间中的点。什么是向量？物理学家可能会把向量想象成空间中的箭头，或者箭头终点所在的那个点。对我来说，向量就是一列数字。所以在理解线性代数中的向量时，你往往会想到比日常用法更抽象的东西。你会想到这种任意的、多维的空间，我的意思是这样。
我立刻就进入高维的梦境了。对，没错。在课堂上，如果你想象十维空间中的两个向量，我会这样讲，而且会坦率承认：我脑中没有十维空间里向量箭头的好图像，但没关系。你可以把一组十个数字加到另一组十个数字上，也就是把一个向量加到另一个向量上；你还可以把一个向量乘以三。如果你知道如何做这些运算，你就掌握了线性代数。十维空间。是的。数学有一件很美的事情：如果你
看看弦理论以及所有这些理论，它们从根本上都是通过数学推导出来的，却很难直观想象。对于我们无法真正想象的十维向量，你是怎么思考的？然而，数学却在那个无法想象的东西中揭示了我们世界的某种美。你如何看待这种差异？嗯，我可能不是很有几何直觉的人，所以我大概还是在用三维的方式思考。线性代数的美在于，它毫无问题地延伸到十维。你只要看看在三维中把两个向量相加会发生什么——本质上就是把十个分量相加。所以我不能说自己脑中有一幅图，但我会推动课堂上的学生去想象十维空间中的平面。
也就是十维空间中的一个平面。这就是其中一个空间。取出矩阵的所有列，取它们的所有线性组合——这一列取多少，那一列取多少——把这些组合放在一起，就得到某种平坦的表面，我把它称作向量空间，也就是向量组成的空间。我想象的只是三维中的一张纸。不过，先不管这些：这就是其中一个空间，也就是第一个空间——矩阵的列空间。然后还有行空间，正如我所说，它不同，但来自同一批数字。我们有列空间，即列的所有组合；然后有行空间，即行的所有组合。所以这些词对我来说很容易说出口，
但我无法真的在黑板上画出它们，只能用厚粉笔来尝试。大家都喜欢那种铁路线粉笔，我也喜欢；现在我不会用别的粉笔了。然后，另外两个空间分别与它们垂直。比如在三维中，如果你有一个平面——一个平面就是三维中的平坦表面——那么垂直于这个平面的会是一条线，那就是零空间。所以我们有列空间、行空间，以及另外两个彼此垂直的空间。
这四个空间共同构成了矩阵的一幅美丽图景。对，对。它算是一个基础概念，并不难。它在 18.06 课程的早期就会出现，是基础内容。多维空间中的平面，这个概念有多难理解？回头看，我觉得从数学上它是说得通的，但我不知道对我们来说是否直观，就像我们刚才讨论的那样。感觉微积分更容易……
我明白！……进入这个概念。嗯，我得承认，微积分出现得更早——比线性代数早。所以 Newton 和 Leibniz 是理解微积分关键思想的伟大人物。但对我来说，线性代数像是起点，因为它讨论的都是平坦的东西。微积分的所有复杂性来自曲线、弯曲和曲面；线性代数中的表面都是平的，线性代数里没有弯曲。所以它本应先出现，但实际并没有；而且微积分也会先出现在
高中和大学课程里，大学新生数学通常学的是微积分。然后我会说，够了，进入真正有趣的内容吧。你认为线性代数应该先学吗？嗯，它不先学我也能接受，但它确实应该先学。对，应该先学。
因为它更简单。因为一切都是平的。对，一切都是平的。当然，也正因为如此，微积分通常局限于一维，后来会学习多元微积分，但那基本上意味着二维。线性代数则可以毫无问题地扩展到十维。
超过二维会让人感觉既可怕又危险，但也就这样。如果一切都是平的，就不会出错。那么，在线性代数或数学中，哪个概念或定理最美？它是否曾让你停下来，产生敬畏？好，我还是谈线性代数。我希望观众知道，数学真的是一门奇妙的学科，思想之间存在深刻的联系；有些想法看起来毫不相关，后来却发现它们原来彼此相连。但如果只谈线性代数，我们有一个矩阵，它就是最基本的东西：一个数字组成的矩形。
它也可能是一个数据矩阵。你之后可能会问到数据科学，因为数据常常以矩阵的形式出现。比如，每一列对应一种药物，每一行对应一名患者；如果患者对药物反应良好，就在对应位置填入一个正数。总之，矩阵就是一个数字矩形，是基础对象。所以最大的问题是理解其中的所有数字。
你有一大组数字。它们呈现什么模式？到底发生了什么？把矩阵分解成简单部分的一种方法，是使用所谓的奇异值。这在至少我有生之年已经成为基础工具。如果观众学过工程数学或基础线性代数，可能听说过特征值；但特征值局限于方阵，而数据往往来自矩形矩阵。
所以你必须再向前一步。我总是在推动数学系教师：学起来，做起来，研究奇异值。奇异值提供了一种方法，可以找出矩阵中重要的部分，而这些部分加起来就构成整个矩阵。也就是说，把矩阵分解成简单的部分，其中第一部分是数据中最重要的部分，
第二部分是第二重要的部分。通常，数据科学家如果找到了第一、第二部分，就可能停在那里。剩余的数据也许只是舍入误差或实验误差。所以你是在寻找重要的部分。那你觉得奇异值美在哪里？
对，我还没有讲定理。奇异值的思想是：每个矩阵——无论是矩形矩阵还是方阵——都可以写成三个非常简单的特殊矩阵的乘积。这就是定理。每个矩阵都可以写成一个旋转乘以一个拉伸，再乘以另一个旋转；拉伸就是一个对角矩阵，除了其中一条对角线外其余位置都是零。
所以，旋转、拉伸、旋转就是任意矩阵的分解。你觉得这种结构、这种能够做到分解的能力，有什么吸引人或美的地方？从几何上说，正如我坦率承认的，矩阵的作用并不容易想象，但每个人都能想象旋转。取二维空间，围绕中心转动它；再看三维空间。飞行员必须了解三种转动，其中一种是偏航。
我已经忘了飞行员所说的三种转动分别是什么了。在十维空间里，你有十种转动方式。但你可以想象旋转：把这个空间转动起来；你也可以想象拉伸。因此，把一个充满各种数字的矩阵分解成可视化的东西——旋转、拉伸、旋转——确实很漂亮。真的很漂亮。对，非常有力量。我只是不断看很多视频，
观察人们会对什么产生共鸣、真正喜欢什么，以及什么会让他们受到数学的启发；数学似乎一次又一次地出现。我在努力理解这是为什么，也许你能给我一些线索。并不只是你所讲授的这类课程，像 Numberphile 这样的其他人也一样：他们有一个频道，专门聊一些其实极其复杂的东西，但人们仍然会与之产生联系。你觉得这是为什么？
这不是很奇妙吗？我以前其实没有真正意识到这一点。我们被习惯塑造成认为数学很难、很抽象、只属于少数人，但事实并非如此。很多人相当喜欢数学，也愿意继续学习。我收到很多人发来的消息，比如有人说：“不，我已经退休了，我要再学一些数学。”这样的消息我收到很多，真的很鼓舞人心。我想，人们喜欢的是其中存在某种秩序——大量的秩序，而且，嗯，
有些事情并不显而易见，却是真实的。所以想到这么多人真的想更多了解数学，确实令人振奋。说到真理，我又要不时滑向哲学了，但数学确实很有力地揭示了什么是真的。我的意思是，证明事物的真伪正是数学证明的意义。
然而，我们的现实世界似乎杂乱而复杂。你怎么看数学所揭示的真理的性质？就像你提到的，它也是一种安慰来源。嗯，是的。不过我得说，我不太像哲学家，我只是喜欢数字。小时候，在还不用去处理补牙疼痛之前——不对，是在补牙时，我会想数学来分散注意力。我会想二的幂：二、四、八、十六，一直数到牙不疼了、牙医说结束了。或者就数数。
所以那几乎就是一种平静的来源。数学到底有什么，会带来这种感觉？对，究竟是什么？嗯，你知道自己身处何处。对称性，是确定性。
比如你知道，二乘以二，再乘以十，就得到一千零二十四——每个人都会得到同样的结果。数学既是一种强大的工具，也是一种艺术形式。两者都是。这正是它有趣的地方之一：你可以是艺术家，同时喜欢数学；也可以是工程师，使用数学。你是哪一种？更接近哪一种？
你最有共鸣的是哪一边？嗯，我处在中间。我当然不是艺术家型的人，也不是哲学家型的人。今天早上听起来也许像，但其实不是。是的，我很喜欢教工程师。他们追求答案。所以在 MIT 数学系里，我大概更喜欢教那些能够接受抽象思想的学生，但我也很喜欢那些正在寻找答案方法的工程师。
我觉得这是个有趣的问题：在教学中，或者一般地思考新概念时，你认为是把数字代入进去更好，还是更抽象地思考更好？是看定理并证明定理，还是先建立对定理、方法或路径的基本直觉，
然后代入数字，看它确实有效？嗯，我们中的许多人当然喜欢先看例子。起初，我们理解的可能是一个听起来很抽象的例子，比如三维旋转。你怎样理解三维甚至十维空间中的旋转？不过，有些人会继续推进，直到出现具体数字：十个角度、十条轴、十个角度。但最优秀、最伟大的数学家，也许不会这样做，我不知道，
因为对他们来说，对其他人而言高度抽象的东西本身就是一个例子。对，但他们仍然是在例子的空间里与它工作。是的，没错。例子似乎体现了结构，我们的大脑似乎会与这种结构产生联系。
对。对。我不确定你是否了解 Andrew Yang；他目前正在竞选总统，他的帽子上用全大写字母写着 MATH 作为口号。原来如此。它代表“让美国思考得更聪明”。好，我会投票给他。他的名字和你的名字押韵，Yang、Strang；而且他也热爱数学，来自那个领域。但这也让我意识到，数学、科学和工程并没有真正成为我们政治
话语的一部分，也没有成为政治或政府讨论的一部分。你怎么看？你对政府总体有什么想法？嗯，系统中的某个地方确实需要有一些人，他们能自在地处理数字和数量。如果你说这个导致那个，他们能看出其中的联系，而且这是无可否认的。但你不觉得奇怪吗？国会里几乎没有——我相当确定是没有——民选官员拥有工程学学位或数学学位，更不用说总统了，而他们
要么拥有工程学学位，要么拥有数学学位。是的，这很遗憾。少数这样的人或许能建立起这种联系。他们必须既理解工程或科学，又能发表演讲、领导并激励人们。你刚才提到激励；你曾任工业与应用数学学会的主席。对，这是数学和应用数学领域的重要组织。你认为这个学会在我们的公共话语中扮演什么角色？
在公共领域里，是的。那段时间担任主席很有趣，大约两年，在 2000 年前后。这个学会规模不算大，但那时数学在华盛顿得到了一些更多的关注。我曾在众议院的一个委员会前发言十分钟，谈论我遇到的人。那很有趣，因为众议院的一位成员曾经是我的学生，曾经上过我的课。你觉得这怎么样？正如你所说，这很罕见；大多数议员接受的是不同训练、拥有不同背景，但有一位来自新罕布什尔州的人曾在我的课堂上学习，所以真的成了我的朋友。那些年很不错。当然，后来华盛顿有其他事情变得更重要，数学目前就不那么显眼了。但它曾经有过一小段显眼的时刻。
现在华盛顿对人工智能的未来既有兴奋，也有担忧。对，我认为其核心是数学。关于未来，是的，我认为核心是数学。确实如此。不过它也许藏在背后，也许只是戴上了另一顶帽子。哦。人工智能，尤其是，
我使用“深度学习”这个词。深度学习是一种理解数据的特定方法。再说一次，你有大量数据；世界各地的计算机都被数据淹没了，而我们要从所有这些数字中找出重要的东西，无论是在气候还是其他领域。人工智能其实是描述一种数据方法的两个词，
深度学习是其中一种具体方法，它大量使用线性代数，所以我开始研究它。我想，好吧，我必须了解这个。也许从你的角度，我可以这样问：你如何看待自己的神经网络？它是什么？你是怎样理解它的？好，我可以从深度学习的概念开始吗？这是什么意思？当然可以。什么是深度学习？什么是深度学习？对，我们是在试图从所有这些数据中学习，试图了解什么是重要的、数据在告诉我们什么。所以，你有数据。
你有一些输入，并且知道这些输入对应的正确输出。问题是，你能否从中看出模式？能否找到一种方法，让一个我们从未见过的新输入，得到它的输出？也就是说，对于一个我们还没见过的新输入，理解它会产生什么输出。于是，我们有一百万个带有输出的输入。我们试图创建某种模式或规则，把这些已知输入映射到正确的一百万个输出上。神经网络的思想就是我们创造规则的新结构的一部分。我们在寻找
一条规则，把这些训练输入映射到已知输出；然后把这条规则用于输出未知的新输入，看看结果如何。线性代数是定义这条规则的重要组成部分。没错，线性代数是很重要的一部分，但不是全部。人们依赖矩阵，这很好，现在仍然如此。线性有其特殊之处，它讨论直线和平面，而数据并不完全是这样，它更复杂。
所以你必须引入一些复杂性，需要使用某种不是直线的函数。后来事实证明，只需要使用一种分段函数：先是一条直线，中途变成另一条直线。也就是说，它是分段线性的；一段有一个斜率，另一段有第二个斜率。一点简单的非线性，就打开了问题空间。
正是这一小段变化，使它足够复杂，从而变得有趣。没错，因为你会把这一小段反复使用一百万次。它的图像有一个折点，由两段组成。但当你把某个东西折叠一百万次时，就得到一个相当复杂、相当逼真的函数。这就是神经网络的特点：它们有很多这样的结构。很多这样的结构。没错。那么，你认为神经网络为什么能够通过构造目标函数——它们并不是一个平面——
一个函数的……有很多折叠，把输入映射到输出。你认为它们为什么能找到一个我们不知道是否最优、但在许多情况下看起来相当不错的规则？你的直觉是什么？这件事像对很多人一样，也让你感到惊讶吗？你是否对它为什么有效有某种直觉？
嗯，我开始有更好的直觉了。可以把这种分段线性理解为平坦的片段，但片段之间有折叠。想象一座结构复杂、近乎无限复杂的房子的屋顶之类的东西。它的曲线看起来几乎是弯的，但每一小段都是平的。工程师一直在使用这个思想，分段平面的大规模应用之一叫有限元方法。如果你想设计桥梁、建筑物或飞机，
你会使用分段平面这个思想，把它作为一种简单、可计算的近似。但你会感觉到，许多这样的分段线性结构组合起来，具有很强的表达能力。你用了一个恰当的词：如果测量表达能力，也就是这种分段平面结构能够表达多复杂的东西，答案是
非常复杂。你认为这种分段线性结构，或者神经网络的表达能力，有什么局限？不久以前，人们会说它们只有计算上的局限：问题规模超过某个程度，超级计算机也做不了。但计算能力一直在增强，所以那个限制不断后移，允许我们处理越来越复杂的表面。从把输入映射到输出这一点来说，
从数据的角度看，在神经网络的一般语境中，数据就是张量、向量、矩阵、张量。你如何思考从数据中学习？我们这个世界有多少能够用这种方式表达？这个过程有多大用处？换一种问法：它的局限是什么？这是个好问题。深度学习的整体思想是，数据中存在某种可以学习的东西。如果数据完全随机，只是由随机数生成器产生，那么我们找不到有用的规则，因为根本不存在规则。
有规则的极端例子，就像知道牛顿定律：你打一个球，它就会运动。物理定律是牛顿、爱因斯坦和其他伟大人物发现的；地下构造中石油的分布也有规律，石油工程师理解石油如何存在于地下盆地中。因此，那里有规则。人工智能的新想法是：不是在牛顿或爱因斯坦的帮助下推导规则，而是学习这些规则。由计算机来寻找规则。
但如果完全没有计算机能够找到的规则，如果数据完全随机，那就什么也没有，也没有可以发现的科学。它是对底层规则的自动搜索。对，搜索规则，没错。其中也会有很多随机成分。我不是在否定随机性，因为随机性确实存在；系统中有大量随机性，但必须存在某种基本结构。
几乎总会有信号，对吧？在大多数情况下，必须有某种信号。是的，如果完全是随机的，就什么也得不到。我们周围的世界似乎总是存在某种等待发现的信号。对，就是这样。那什么更让你兴奋？是的，等待被发现。对，就是这样。那什么
更让你兴奋？我们刚才稍微谈到了一点应用：你更兴奋于数学理论，还是数学的应用？对我自己来说，我可能是理论型的人。我在这里相当自由地谈应用，但我不是那个真正从事应用的人；我不是物理学家、化学家或神经科学家。对我来说，我喜欢结构、这些平坦的子空间，以及矩阵中列与行的关系，那是我在这条光谱上的位置。科学确实是一条很宽的光谱：有人提出并回答实际问题，使用一些数学；还有像我这样的数学家，处在中间位置，
再往上则是数学、物理和化学领域的天才，他们寻找基本规律，真正理解自然。这太不可思议了。从最简单、最概括的层面看，在你看来，线性代数作为数学的一个分支处在什么位置？你会如何看待与线性代数相关的各个数学分支？
数学的大领域包括代数整体，以及微积分和微分方程这样的问题；这是第二个相当不同的领域。也许几何应该被理解为另一个独立领域，用来理解高维曲面的几何。那么我可以在这里这么说吗？我想这涉及个人看法。关于数学，或者说数百万学生学习的本科数学，我认为我们过度强调了微积分，却牺牲了代数，牺牲了线性代数。看，这个标题就是“微积分与线性代数的对比”。
没错。没错。你说线性代数胜出。那么能否详细讲讲，为什么线性代数胜出？好吧，观众会觉得这个人有偏见。
不对，我只是在陈述事实。对我来说，线性代数是数学中很好的一个部分，人们能够理解它的思想。他们可以理解某种略显抽象的东西；而且一旦进入十维或一百维，它就非常、非常、非常有用。
我这一生发生的变化是数据变得重要，而数据确实以矩阵形式出现，所以它天然适合代数，并不适合微分方程。公平地说，还应加上概率。概率和统计的思想已经变得非常重要，我也亲眼看到它们向前发展。因此，对我来说现在有三个主要领域：微积分、线性代数与矩阵，以及概率统计。它们都应该占据重要位置。传统上微积分占用了最大份额，而且份额不成比例。
确实如此，谢谢你。“不成比例”这个词用得很好。它获得了那些充满热情的年轻头脑过多的喜爱和关注。我知道很难选出最喜欢的东西，但你最喜欢哪个矩阵？我最喜欢的矩阵？好吧，我最喜欢的是一个方阵，我见过它。它是一组方形排列的数字，主对角线上是连续的 2。再看下一条对角线，也就是从左上到右下，
矩阵中间向下都是 2，在这些 2 的正上方是 -1，正下方也是 -1，其他位置都是 0。所以大部分是 0，只有三条非零对角线贯穿其中。它有什么有趣之处？它会以各种方式出现：你能在工程学中看到它，在微积分里也能找到与二阶导数的类比。微积分学习求导，弄清某个量变化得多少、变化得多快。但二阶导数也很重要：它描述变化率如何变化、图像弯曲得多快。爱因斯坦展示了二阶导数对于理解空间的基础作用。因此，二阶导数在微积分中应该占据更重要的位置。我的矩阵就是线性代数中类似二阶导数的东西，它们在线性代数里很漂亮，
一切对这些矩阵都恰到好处。很美。你这些年来教过这么多数学学生，对学习过程有什么认识？这个问题很难。我得承认，我并不是一个真正优秀的教师，因为我不太参与考试环节；考试是我不喜欢的人生部分，还有给试卷评分、给学生 A、B 之类的成绩。我做这些是因为职责所在，但我会在开课时告诉全班——不知道他们是否相信我，可能并不相信——我来这里是教你们的。
我来这里是教你们数学的，不是给你们评分的。但他们会想：好吧，这个人什么时候给我 A-？会给我 B+ 吗？那么，你对学习过程有什么认识？关于学习，是的。也许如果要给你一个关于学习的正经回答，我应该更关注最后的评估和考核部分。
但我喜欢开头的教学部分。第一次向某人讲解矩阵，那才是吸引人的部分。有没有这样的时刻：你在教授一个概念时，不用看成绩，只从学生的眼睛里就能看到他们学会了？你看出自己抓住了他们、与他们建立了联系，让他们爱上这个美丽的数学世界。
他们看到了其中的美。反过来，也可能在那一刻放弃，走向更黑暗的一面，说“我不擅长数学”，然后离开。是的。也许他们过去受到过错误方法的打击，但不要气馁，数学太好了，不能错过。嗯，如果我在教一个大班，我是否知道学生何时理解了？也许知道，某种程度上吧。我在最开始提到了四个基本子空间，以及线性代数基本定理的结构。线性代数基本定理，就是这四个子空间之间的关系，
这四个空间。对，所以当他们想要看到它时，我觉得全班就理解了。今天，一个刚开始数学之旅的学生应该得到什么建议？该如何开始？哦，这很难。
我希望你能遇到一位仍然享受自己所做之事、所教内容的老师或教授。他仍然在寻找新的教学方式和理解数学的方式，因为那种“哦，对，这样确实成立”的瞬间就是乐趣。重点在于你学习的材料。
更重要的是，老师本身充满热情的来源。对，更重要的是享受理解的乐趣，以及终于弄懂的那一刻。至于主题，代数当然是我的主题。但几何中也有美丽的东西值得理解。奇妙的是，最终你会看到一种模式：生物学和每个领域一样，都有遵循的规则。你把数学家的生活描述成百分之百美好，只除了评分之类的事情。对，还有成绩。当你回顾自己的人生时，
哪些记忆给你带来最多快乐和自豪？这是个好问题。当我在 18.06 课程——也就是我开创的 MIT 线性代数课程——上课时，我确实感觉很好。会有一种感觉：好，我开创了这门课，很多学生选它，也有不少学生喜欢它。当我觉得自己正在帮助学生把思想彼此联系起来、把理论与读者联系起来时，我会感到高兴。
是的……我收到过很多看过这些视频的人发来的美好信息，这很鼓舞人心。我只是想借此机会说声谢谢。你教过数百万学生，我很感激自己是其中之一。很好，也谢谢你。和你交谈是我的荣幸。谢谢你接受采访。很高兴。谢谢。谢谢你收听这次与 Gilbert Strang 的
对话。也感谢我们的冠名赞助商 Cash App：下载它并使用代码 Lex Podcast，你会得到 10 美元，同时还会有 10 美元捐给 FIRST。FIRST 是一个 STEM 教育非营利组织，激励数十万年轻人学习，并梦想用工程学创造我们的未来。如果你喜欢这个播客，请在 YouTube 上订阅，在 Apple Podcasts 上给五颗星，在 Patreon 上支持我们，或在 Twitter 上与我联系。最后，请听伟大的 Richard Feynman 留下的几句建议：以最勤奋、最感兴趣、最不守纪律、最不敬畏权威、最原创的
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