Terence Tao: 陶哲轩：数学与物理学中的最难问题，以及 AI 的未来
#472 – Terence Tao: Hardest Problems in Mathematics, Physics & the Future of AI
嘉宾：Terence Tao
§01访谈文稿 1
下面这段对话的嘉宾是陶哲轩。他被广泛认为是历史上最伟大的数学家之一，常被称为“数学界的莫扎特”。他获得过菲尔兹奖和数学突破奖，并在数学与物理学中范围广得令人惊叹的领域，作出了开创性贡献。对我而言，这是莫大的荣幸，原因很多，其中包括特里在我们所有交往中表现出的谦逊与友善，这对我意义非凡。这里是《莱克斯·弗里德曼播客》。如果想支持节目，请查看简介中的赞助商，或者访问 LexFridman.com/sponsors。现在，亲爱的朋友们，有请陶哲轩。
你遇到的第一个真正困难、达到研究层次的数学问题是什么？也许是某个让你停下来认真想的问题？
嗯，本科阶段就会学到那些极难、几乎无从下手的问题，比如黎曼猜想、孪生素数猜想。你可以把问题弄得任意困难，这倒不是什么难事。事实上，有些问题我们甚至知道是不可解的。真正有意思的是边界上的问题：一边是我们很容易做到的，另一边是毫无希望的；而有些问题，现有技巧能完成90%，只差最后10%。我读博士时，挂谷问题确实吸引了我。它其实刚刚被解决。这是我早期研究中花过很多精力的一个问题。历史上，它源于日本数学家挂谷宗一在大约1918年提出的一个小谜题：平面上有一根针，也可以想成在路上开车，你想让它掉头，把针转过来，却又想尽量少占空间，尽量只用很小的面积。针可以任意灵活地移动。你可以想象，直接绕它的中心旋转。如果针长为一个单位，绕中心转动，我想得到的圆盘面积是π/4。也可以作三点式掉头，就是驾校教的那种，实际占用的面积是π/8，比原地旋转更有效。因此，有一阵子，人们认为那就是最省空间的掉头方法。但贝西科维奇证明，实际上，你可以用任意小的面积把针转过来。比如0.01，你可以做某种非常巧妙、来回多次的掉头动作，把针转过来，而且过程中会经过所有中间方向。是……
这是在二维平面上？
对，在二维平面上。二维的情况，我们已经完全理解了。接下来的问题是：三维会怎样？假设哈勃太空望远镜是空间中的一根管子，你想观察宇宙里每一颗恒星，因此要把望远镜转向每个方向。不现实的部分来了：假设空间很紧张——其实完全不是——你希望尽量少占体积，就能转动这根针，看见天空中每一颗星。最少需要多大体积？你可以修改贝西科维奇的构造。如果望远镜厚度为零，那就可以用任意小的体积做到。这只是对二维构造的简单修改。但问题在于，如果望远镜的厚度并非零，只是非常非常细，厚度为δ，那么作为δ的函数，能朝向每个方向所需的最小体积是多少？
随着δ变小，针越来越细，体积应该下降，但下降得有多快？猜想是，它下降得非常、非常慢，粗略地说像对数，而经过大量工作，这已经得到证明。这看起来像个小谜题，为什么有意思？因为它竟然与偏微分方程、数论、几何、组合数学中的许多问题相关。比如波的传播：你拨动水，产生水波，波会向不同方向传播，但波同时表现出粒子式和波式的行为。可以有所谓“波包”，它是在空间中高度局部化、又随时间沿某个方向运动的波。如果同时把空间和时间画出来，它占据的区域就像一根管子。可能出现的情况是，一道波起初非常分散，后来却聚焦到一点。想象你往池塘扔一颗石子，涟漪向外扩散；把这个过程在时间上倒放，而波动方程是时间可逆的，就可以想象涟漪朝一个点会聚，随后溅起很大的水花，甚至可能形成奇点。这是可能的。在几何上发生的是，也有光线；比如这道波代表光，就可以想象它是所有以光速行进的光子的叠加。
它们都沿着这些光线传播，聚焦到同一个点。所以，一道很分散的波，可以在时空中的一点变得非常集中，之后又散焦、分开。但如果这个猜想得到否定答案，也就是存在很高效的方法，把朝不同方向的管子塞进极窄、体积极小的区域，那么你也就能制造这样的波：有某种配置，使它们一开始非常分散，后来不仅在一个点聚集，而是在时空中出现许多聚集。这样可能产生所谓“爆破”，波的振幅变得极大，以至于支配它们的物理定律不再是波动方程，而是更复杂、非线性的东西。
所以，在数学物理里，我们非常关心某些方程、波动方程是否稳定，能否产生这种奇点。有一个著名未解问题，叫纳维–斯托克斯正则性问题。纳维–斯托克斯方程支配水等不可压缩流体的流动。问题问的是：如果从一个光滑的水流速度场开始，它有没有可能集中到某一点的速度变为无穷大？这就叫奇点。现实中我们没见过这种情况。在浴缸里拨水，水不会对着你爆炸，也不会以光速飞出去，但潜在而言，这有可能。
事实上，近年来，共识逐渐转向这样一种看法：对于水这类流体的某些非常特殊初始配置，奇点确实可能形成，但人们还没能真正证明。克雷基金会有七个千禧年大奖难题，解出其中一个可获100万美元，这就是其中之一。七个问题里，目前只有一个被解决，是庞加莱猜想［00:07:18处听不清］。所以，挂谷猜想并不直接关系到纳维–斯托克斯问题，但理解它，有助于我们理解波集中等现象的某些方面，从而大概能间接帮助我们更好理解纳维–斯托克斯问题。
能谈谈纳维–斯托克斯问题吗？就是你说的存在性与光滑性，千禧年大奖难题。你在上面取得过很多进展。2016年，你发表了《一种平均化三维纳维–斯托克斯方程的有限时间爆破》。所以，我们想弄清，这个东西通常不会爆破，但能不能确定它绝不会爆破？
对，是的，这真是那个价值100万美元的问题。这就是数学家与几乎所有其他人的区别。如果某件事99.99%的时候成立，对多数事情就够用了。但数学家是极少数真正关心，是否覆盖了100%所有情况的人。大部分流体、大部分时候，水不会爆破，但你能不能设计一个非常特殊的初始状态，让它发生？
也许还应该说明，这是一组流体力学方程，试图理解流体如何运动。而事实证明，它是一个非常……流体是极其复杂、很难建模的东西。
对，所以它有实际重要性。克雷奖这个问题讨论的是所谓不可压缩纳维–斯托克斯方程，支配水这样的流体。还有可压缩纳维–斯托克斯方程，支配空气之类，对天气预报尤其重要。天气预报要做大量计算流体力学，其中很大一部分，就是尽力求解纳维–斯托克斯方程，同时还要收集很多数据，作为方程的初始条件。有很多环节，因此实践上非常重要。
为什么很难证明这组方程的一般性质，比如绝不爆破？
简短答案是麦克斯韦妖。麦克斯韦妖是热力学概念。假如盒子里有氧气和氮气，起初氧气全在一边，氮气全在另一边，但中间没有隔板，它们会混合，也应保持混合，没有理由重新分开。但原则上，由于各种碰撞，也许存在某种古怪的合谋：有一个微观的小妖，叫麦克斯韦妖，每次氧与氮的原子碰撞，就让它们以某种方式弹开，使氧慢慢漂向一边，氮漂向另一边。于是，可能出现一种极不可能的配置，现实中从未见过，统计上极其不可能，但在数学上，它有可能发生，我们无法排除。
这在数学里很常见。一个基本例子是π的数字，3.14159等等。这些数字看起来没有规律，我们也相信没有规律。长远来说，1、2、3出现的次数应该与4、5、6一样多，不应偏爱某个数字，比如偏爱7胜过8。但也许π的数字里有某种妖，你每算出更多数字，它就让一个数字比另一个更多。这是一种本不该发生的合谋，没有理由发生，可用目前的技术，没有办法证明不会。回到纳维–斯托克斯，流体有一定能量，因为流体在运动，能量会被搬运到各处。
水也有黏性，因此，如果能量分散到许多不同位置，流体天然的黏性就会耗散能量，让它趋于零。实际做水的实验就是这样：你拨动水，出现湍流、波等等，最终还是会平静；振幅越低，速度越小，就越平静。但潜在地，可能有某种妖，不断把流体能量推向越来越小的尺度，使它越动越快。而速度越快，黏性的相对作用越弱。所以，可能出现所谓自相似团块情景：流体能量起初位于大尺度，随后全部转移进更小区域；这个区域再以快得多的速度，把能量转移到更小区域，如此继续。
每一次，所需时间可能只有前一次的一半，于是，在有限时间内，所有能量就可能集中到一点。这种情景叫有限时间爆破。实践中，这不会发生。水具有所谓湍流：一个大涡旋确实往往会分裂成小涡旋，但不是把全部能量从一个大涡传给一个小涡，而是分给三四个；随后，每个小涡又分成自己的三四个更小涡。因此，能量会分散到黏性足以控制一切的程度。但如果能以某种方式把全部能量集中、始终聚在一起，而且快到黏性没有足够时间让一切平静，爆破就可能出现。
所以，曾有论文声称：“哦，只需要考虑能量守恒，再仔细运用黏性，就能控制一切。不只纳维–斯托克斯，许多类似方程都可以。”过去，人们多次尝试证明纳维–斯托克斯的所谓全局正则性，它与有限时间爆破相反，意味着速度始终保持光滑。但这些尝试全都失败了，总有符号错误或某种微妙错误，而且无法补救。
所以，我当时感兴趣的是，试着解释为什么我们无法排除有限时间爆破。我没法直接对真实流体方程做到，它们太复杂。但如果把纳维–斯托克斯运动方程作平均化，基本上就是关掉水的一些相互作用方式，只保留我想要的那些。具体说，如果流体能够把能量从一个大涡传给这个小涡，或者另一个小涡，我就关掉通向其中一个的能量通道，只把能量导向另一个更小的涡，同时仍然保持能量守恒定律。
所以，你在试着制造爆破？
对，对。基本上，我通过改变物理规则，人为设计出爆破。数学家可以做这件事，我们可以改方程。
这怎样帮助你更接近某个结论的证明？
对，这在数学中提供了所谓“障碍”。我所做的，基本上是关掉方程的某些部分。通常，去掉一些相互作用、降低非线性，会使它更正则、更不容易爆破。但我发现，只要关闭一组精心设计的相互作用，就能强迫全部能量在有限时间爆破。这意味着，如果想证明真实纳维–斯托克斯方程的正则性，就必须用到真实方程中某种我的人工方程不具备的特征。因此，它排除了某些研究路径。
数学不只是拿一个会成功的技巧来用，也需要避免采用那些不成功的技巧。对于真正困难的问题，常常有几十种方法，看起来似乎都能用于解题，但只有积累很多经验后，才明白这些方法根本不可能有效。因此，给邻近问题构造反例，会排除一些路径，节省大量时间，因为你不再浪费精力，去做已经知道绝不可能成功的事。
这与流体动力学那个特定问题的联系有多深？还是说，你是在建立某种更普遍的数学直觉？
对，我的方法利用的关键现象，叫“超临界性”。在偏［00:15:46处听不清］方程中，这些方程往往像不同力量间的拔河。纳维–斯托克斯里，有来自黏性的耗散作用，这一点理解得非常清楚。它是线性的，会让一切平静。如果只有黏性，就不会发生坏事。但还有输运：流体在运动，能量可以从空间中一个位置被搬到别处。这是非线性效应，也是所有问题的来源。所以，纳维–斯托克斯方程中有两个竞争项：耗散项和输运项。如果耗散项主导、足够大，基本上就有正则性；如果输运项主导，我们就不知道会怎样。这是高度非线性的情况，不可预测，具有湍流。
有时，这些力量在小尺度平衡，却在大尺度不平衡，或者反过来。纳维–斯托克斯是所谓超临界的：尺度越来越小，输运项相对黏性项会强得多，而黏性项本是让一切平静的。因此，问题很难。在二维，苏联数学家拉德任斯卡娅在60年代证明不会爆破。二维纳维–斯托克斯方程是所谓临界的：即使尺度非常非常小，输运与黏性的效应也大致一样强。我们有很多技术处理临界和次临界方程，证明正则性。但超临界方程会怎样，原本并不清楚。我做了大量工作，后来还有很多后续研究，表明对许多其他类型的超临界方程，都能构造各种爆破例子。
一旦小尺度上的非线性效应压过线性效应，各种坏事都可能发生。因此，这条研究路线的主要认识之一，就是超临界与临界、次临界有巨大区别。这是区分某些方程是否表现良好、可预测的关键定性特征。比如行星运动，有些方程可以预测数百万年，至少几千年，通常不是问题。但天气无法预测到两周以后，是有原因的，因为它是超临界方程。在极细尺度上，有许多非常奇怪的事发生。
所以，只要有某种巨大的非线性来源，就可能让预测变得非常困难？
对，尤其非线性在小尺度越来越显著、越来越复杂的时候。许多方程都是非线性的，但很多情况下，可以用整体作近似。例如行星运动，要理解月球或火星的轨道，不太需要知道月球地震结构的微观细节，也不需要知道质量分布究竟怎样。基本上，可以把行星近似为质点，重要的只是整体行为。但要模拟天气这样的流体，不能只说：“洛杉矶温度是多少、风速是多少。”对于超临界方程，精细尺度的信息确实很重要。
我们能再多谈一点纳维–斯托克斯方程吗？你曾提出，也许可以介绍一下，一种解决它、或否定它的方式，是构造某种液体计算机，然后证明，计算理论中的停机问题会影响流体动力学，用这种方式来证明。能介绍这个想法吗？
对，这来自我构造会爆破的平均化方程的工作。为了做到它……最朴素的方式，是不断推动：每到一个尺度，就尽快推向下一个尺度。这是强迫爆破的直观做法。五维及更高维里，这个方法有效。但在三维，我发现一个奇怪现象：即使改变物理定律，一直试着把能量推向越来越小的尺度，结果能量反而会同时分散到许多尺度。一个尺度上有能量，你把它推向下一个，一进入那个尺度，又继续推到更下一个，但上一个尺度还留着一部分能量。
你试着同时做所有事，反而把能量摊得太开。这样一来，黏性就能趁虚而入，实际上把一切都耗散掉。所以，这种直接做法行不通。其他作者另有一篇论文，确实证明了三维的这个现象。因此，我需要编入一个延迟，有点像气闸。需要一种方程，起初流体在某个尺度上做事，把能量推向下一个尺度，但停在那里，直到较大尺度的全部能量都转移完。只有把能量全部推进去，才打开下一道门，继续往下推。
这样，能量会逐尺度向前挪，每次始终只集中在一个尺度，因此不分散，就能抵抗黏性。为做到这一点，我必须构造相当复杂的非线性。基本上，是像电子电路那样搭建。这还得感谢我妻子，她受过电气工程训练，跟我讲过设计电路等事情。如果想让电路做特定事情，比如让灯亮、灭，再亮、再灭，可以从更基本的元件搭起：电容、电阻等等，还要画电路图。
这些图，你可以用眼睛沿着看，说：“哦，对，电流在这里积累，然后停止，再那样走。”所以，我知道怎样构造基本电子元件的类似物，例如电阻、电容，然后把它们组合起来，打开一道门，再有一个时钟；时钟达到阈值，就把门关上。它成了一台鲁布·戈德堡式复杂机器，只不过是用数学描述的。最后，它真的有效。我意识到，如果能对真实方程做同样的事，也就是水的方程支持计算……你可以想象一种蒸汽朋克，但其实是“水朋克”。现代计算机是电子的，靠电子穿过极细导线，与其他电子相互作用等等。
但不用电子，而想象水脉冲以某种速度移动。也许有两种不同配置，对应比特的0或1。如果两团这样的运动水体碰撞，可能以一种新配置出来，类似与门或或门：输出以非常可预测的方式依赖输入。把这些串起来，也许就能造出图灵机。于是，你就有了完全由水组成的计算机。如果有计算机，也许就能做机器人，比如液压装置。这样，可以创造某种机器，基本上是所谓冯·诺依曼机器的流体版本。
冯·诺依曼提出，如果想殖民火星，把人和机器运去的成本高得离谱。但如果只送去一台机器，而它能开采行星、制造更多材料、冶炼，并建造更多同样机器的复制品，那么时间久了，就能殖民整个行星。因此，如果能造一台流体机器，也就是流体机器人，它一生的目的、编好的程序，就是在某种尚未启动的冷态中，造一个更小的自己。准备好后，大机器人这团水就把全部能量传入较小配置，然后关机，清理自己。留下的新状态就会启动，用更小、更快的方式做同样的事。
方程具有一定的尺度对称性。这样做成一次，就能不断迭代。所以，原则上，这会让真实纳维–斯托克斯方程爆破。而这正是我在平均化纳维–斯托克斯方程中做到的。因此，它提供了一条解决问题的路线图。但这仍是空想，因为要真正实现，还缺太多东西。我造不出那些基本逻辑门，也没有那些特殊的水配置。有些候选，比如涡环，或许可能有效。而且，模拟计算比数字计算难处理得多，因为总有误差，需要一路做很多纠错。
我也不知道怎样彻底关闭大机器，使它不干扰小机器的运作。但原则上，一切都有可能发生，并不违背任何物理定律，所以多少说明这种事情有可能。现在也有其他团队在寻找让纳维–斯托克斯爆破的方法，远不像这条路这么复杂。他们实际上更接近直接自相似模型。模型本身还不完全成立，但他们希望描述某种更简单的方案，让它行得通。
从纳维–斯托克斯走到图灵机，这里真的有一种天才式跳跃。从自相似团块、让团块越来越小，跳到一台越来越小的液体图灵机，再看出它怎样说明爆破，这是一个巨大的跨越。
其实有先例。数学很擅长发现，看起来完全不同的问题之间的联系。只要数学形式相同，就能建立联系。此前在所谓元胞自动机方面有很多工作，最著名的是康威生命游戏：一个无限的离散网格，每个时刻，一个格子要么有细胞，要么是空的。有一条非常简单的规则，告诉你细胞怎样演变，有时活，有时死。我读书时，这种不断播放的动画是很流行的屏保。它们看起来非常混乱，事实上有时有点像湍流。但后来，人们在生命游戏中发现了越来越有趣的结构，例如一种叫“滑翔机”的东西。
滑翔机是一种只有四五个细胞的极小配置，它不断演化，沿某个方向移动，有点像那些涡环［00:27:09处听不清］。对，这是一个类比。生命游戏是离散方程，流体的纳维–斯托克斯方程是连续的，但数学上有些相似特征。于是，人们逐渐发现生命游戏中可以搭出越来越有趣的东西。它是很简单的系统，只有三四条规则，却能在其中设计各种有意思的配置。比如“滑翔机枪”，自己不做别的，只不断一个个吐出滑翔机。经过很多努力，人们还构造出了针对滑翔机的与门和或门。
那是一种庞大、荒诞的结构：如果一束滑翔机从这里进来，另一束从那里进来，可能就会输出一束滑翔机。比如，只有两束输入都有滑翔机，才产生输出；只有一束有，就什么也没有。他们能搭出这样的东西。一旦有了基本逻辑门，从软件工程的角度，就几乎什么都能造，包括图灵机。那是巨大的蒸汽朋克式装置，看着很荒唐。但后来，人们还在生命游戏中生成了自复制物体，一台巨大的［00:28:31处听不清］机器。在极长时间内，内部像是滑翔机枪在做各种蒸汽朋克式计算，最后会创造另一个能继续复制的自己。
太不可思议了。
很多工作实际上是业余数学家在社区里众包做的。我知道这些成果，所以它们是启发我对纳维–斯托克斯提出同样想法的原因之一。但说真的，模拟系统比数字系统难得多。不能把生命游戏里的构造直接搬过去。不过，同样，这说明是有可能的。
这些元胞自动机的局部规则中，会发生某种涌现……也许类似流体，我不知道，但局部规则在大规模下，能创造极其复杂的动态结构。这些东西能用数学分析吗？我们有没有工具，对它作出深刻说明？
问题在于，你确实能得到这种涌现的、非常复杂的结构，但必须非常精心地准备初始条件。那些滑翔机枪、逻辑门、自行运动的机器，如果你只是随便丢一些细胞进去，让它们运行，就看不到。这与纳维–斯托克斯的情况类似：典型初始条件下，不会发生这种古怪计算。但通过工程式设计，以非常特殊的方式专门安排，就能做出巧妙构造。
我想，能不能证明一种否定结论：基本上，只有经过工程设计，才可能创造有趣的东西？
对，这是数学中反复出现的挑战，我称为结构与随机性的二分。数学里能生成的大多数对象是随机的，看起来像随机的，比如π的数字，我们相信是一个好例子。但有极少数东西具有规律。如果某个东西有简单规律，你可以构造……证明它每隔一段就重复，诸如此类，这能做到。例如，你能证明，大多数数字序列没有规律。如果随机选数字，有所谓大数定律，告诉你长远看，1与2的出现次数一样多。但对于另一种情况，我们的工具就少得多……
如果给你一个特定对象，比如π的数字，怎样证明它不存在某种古怪规律？我花过很多时间的另一类工作，是证明所谓结构定理、逆定理，给出判断某个东西何时很有结构的检验。有些函数具有所谓可加性。比如从自然数映到自然数的函数，2映到4，3映到6等等。有些函数是可加的，意思是，把两个输入相加，输出也随之相加。比如乘以常数。一个数乘10，A+B乘10，等于A乘10、B乘10，再把它们相加。所以，有些函数可加；有些则有点可加，却不完全可加。
比如，取一个数，乘以√2，再取整数部分。10乘√2大概是14点几，所以10映到14，20映到28。在这个例子里，可加性成立：10+10=20，14+14=28。但由于取整，有时会有舍入误差。把A+A放进去，函数结果不完全等于两个各自输出之和，而是相差1。因此，它几乎可加，但并非完全可加。
所以，数学中有很多有用结果，我也做过很多这类研究。大意是，如果一个函数表现出某种这样的结构，那么它之所以如此，基本上是有原因的：附近有另一个真正完全结构化的函数，解释了这种局部规律。有了这些逆定理，就建立一种二分：你研究的对象，要么完全没有结构，要么以某种方式，与一个有结构的东西相关。不管哪种，都能推进研究。一个好例子是，数学里有一个老定理……
一个好例子，是数学里一个老定理，叫塞迈雷迪定理，20世纪70年代证明。它讨论在一组数中寻找一种特定规律：等差数列，比如3、5、7，或者10、15、20。恩德雷·塞迈雷迪证明，任何足够大的、所谓具有正密度的数集，都包含你想要的任意长度的等差数列。
比如，奇数的密度是二分之一，它们包含任意长度的等差数列。这很显然，因为奇数高度结构化。我可以取11、13、15、17，很容易找到。但塞迈雷迪定理也适用于随机集合。取奇数集合，对每个数抛一枚硬币，只保留抛出正面的那些数。就是随机删掉一半，保留一半。这样的集合没有规律，但仅靠随机波动，你仍会在其中得到许多等差数列。
你能证明，在一个随机……中存在任意长度的等差数列？
能。听过无限猴子定理吗？数学家通常给定理起无聊名字，但偶尔也会起生动的。
听过。
无限猴子定理的通俗版本是：一个房间里有无穷多只猴子，每只都有打字机，随机打字，那么几乎必然会有一只打出完整《哈姆雷特》，或任意其他有限字符串。需要一点时间，实际上相当长，但如果猴子无穷多，就会发生。
基本上，定理说，取一串无限的随机数字之类，最终，你想要的任意有限模式都会出现。也许等很久，但终会发生。尤其，任意长度的等差数列最终都会出现，不过需要极长的随机序列。
我想，这挺直观。毕竟是无穷。
对，无穷可以容纳许多过错。
对，我们人类该怎样理解无穷？
可以把无穷看成一种抽象：某个你没有给出上界的有限数。现实里没有什么真正无限，但你可以问：“如果我想要多少钱就有多少钱？”或者“如果我能想多快就多快？”数学家把这些问题形式化，数学找到一种理想化的形式：不只是极大、极小，而是恰好为无穷或零。这样，数学往往清楚得多。物理里，我们会开玩笑说“假设一头球形牛”。现实问题有各种现实效应，但可以理想化，让一些东西趋于无穷，一些趋于零，数学就更容易处理。
我想，使用无穷，会有多经常迫使我们偏离现实物理？
会有很多陷阱。本科数学课花很多时间教分析，而分析常常就在研究怎样取极限，以及是否……
比如，A+B总等于B+A。项数有限时，求和可以交换位置，没有问题。但项数无限时，可以玩一些类似障眼法的把戏：一个级数收敛到某个值，重新排列，突然又收敛到另一个值。因此，你可能出错。允许无穷时，必须知道自己在做什么，要引入ε和δ，并采用某种推理方式，帮助避免错误。
近些年，人们开始把无限极限中成立的结果作所谓有限化。你知道某件事最终成立，却不知道什么时候。现在，给我一个速率。比如，如果不是无穷多猴子，而是很多但有限的猴子，要等多久才会打出《哈姆雷特》？这是更定量的问题，可以用纯粹有限的方法处理，运用有限直觉。在这个例子中，所需时间随想生成的文本长度呈指数增长。
所以，你看不到猴子打出《哈姆雷特》。也许能打出一个四字母单词，但做不到那么长。因此，我个人觉得，把无限命题有限化后，它确实直观得多，也不再那么古怪。
所以，即使研究无穷，最好也有限化，好获得一些直觉？
对，缺点是，有限化的证明会杂乱得多。所以，无限版本通常先被发现，常常早几十年，然后人们才把它们有限化。
既然谈了很多数学、物理，那么作为学科、理解世界和观察世界的方式，数学与物理有什么区别？也许还能加上工程。你提过妻子是工程师，给了你新的电路视角。你做过数学物理，也戴过这些不同帽子，所以这些不同看世界的方式……
对，我觉得，科学总体是三件事的相互作用：真实世界、我们对真实世界的观测，以及头脑中关于世界如何运作的模型。
我们不能直接接触现实，只有观测，而观测是不完整、带误差的。很多情况下，我们想知道，比如明天天气怎样，目前还没有观测，却希望知道。这就是预测。
还有这些简化模型，有时基于不现实的假设，像球形牛。这些是数学模型。
数学关心的是模型。科学收集观测，提出可能解释观测的模型。数学所做的，是留在模型内部，问这个模型会带来什么后果？它会对未来或过去的观测作出什么预测？是否符合观测数据？
所以，两者肯定共生。数学相较其他学科的不同，大概是我们从假设，比如模型的公理出发，问会得到什么结论。几乎其他所有学科，都从结论开始：“我想做这个，想造桥，想赚钱，想做这件事。”再寻找达到目标的路径。较少去设想：“假如我这么做，会怎样？”规划、建模。推想小说也许是另一个例子，但大概就这些了。生活中，多数活动以结论为导向，物理与科学也一样：想知道小行星会去哪里，明天天气怎样。但数学还有另一种方向，从公理出发。
物理中，理论与实验之间存在张力。你觉得，哪一种方式更有力，能发现真正新颖的现实观念？
嗯，两者都需要，自上而下与自下而上。确实是这些方面相互作用。随着时间推移，观测、理论、模型都应越来越接近现实。但最初——这是始终存在的情况——它们相距甚远，需要其中一方，来判断另一方该往哪里推进。
所以，如果模型预言了实验尚未显示的异常，就会告诉实验者该去哪里找更多数据，以改进模型。如此反复往来。
数学内部也有理论和实验两部分。只不过，直到最近，理论几乎完全占主导。99%的数学是理论数学，实验数学只占极小部分。不过，确实有人做。如果想研究素数之类，可以直接生成大数据集。
有了计算机后，我们就得稍微这样做。其实更早也有，比如高斯，他发现或者猜想了数论中一个最基本的定理，叫素数定理，预测一百万以内、一万亿以内有多少素数。这不是一个显然的问题。他所做的，基本上是亲自计算，也雇佣人力计算员——职业就是做算术的人——算出最初十万个素数之类，制成表，作出预测。这是实验数学的早期例子。但直到最近，它还不是……
我是说，理论数学要成功得多。当然，直到最近，复杂数学计算一直不可行。即使如今有强大计算机，也只有部分数学对象能够用数值方式探索。
有一种现象叫组合爆炸。比如研究塞迈雷迪定理，想考察1到1000中所有可能的子集。只有1000个数，能有多难？结果，不同子集有2的1000次方个，远远超过任何现有计算机的枚举能力。
所以，有些数学问题很快就变得无法用直接穷举计算处理。国际象棋是另一个著名例子，棋局数量太大，计算机无法完全遍历。但现在有了 AI，有了探索这个空间的工具，虽然不是百分之百保证成功，而是实验。所以，我们现在能够从经验上解决象棋问题。例如，有很强的 AI，不遍历游戏树每一个局面，却找到了很好的近似。人们实际用象棋引擎做“实验象棋”，重新审视旧理论，比如“这种开局下，这步好，那步不好”。利用引擎，可以改进、有时甚至推翻传统象棋认识。我也希望，未来数学会有更多实验成分，也许由 AI 推动。
我们当然会谈到。但在国际象棋里，数学中也有类似情况，我不觉得它对不同局面给出了某种形式化解释，只是告诉你哪个更好或不好，让人类获得直觉，再据此构建理论。
你提过柏拉图的洞穴寓言。不熟悉的人可能不知道：人们看到的是现实的影子，而非现实本身，却相信眼前所见就是现实。从某种意义上，这是不是数学家，甚至所有人都在做的事：看现实的影子？我们可能真正接触现实吗？
嗯，这里有三种本体层面的东西：实际现实、观测、模型。严格说，它们不同，我想也永远不同，但可以随着时间越来越接近。接近的过程，常常意味着必须放弃最初直觉。天文学有很好的例子：起初的世界模型认为地面平坦，因为看起来平坦而且很大；宇宙其他部分，也就是天空，却不像这样。比如太阳看起来很小。
所以，最初模型其实离现实很远，却符合已有观测，看着一切都好。但随着观测越来越多、越来越接近现实，模型也会被带着走。后来，我们不得不认识到地球是圆的、会自转、绕太阳系运行，太阳系绕银河系运行，等等；宇宙在膨胀，而且膨胀在加速。事实上，就在最近、今年，现在有证据表明，宇宙的加速本身也不是恒定的。
而背后原因的解释……
还在追赶。
还在追赶。我是说，仍然有暗物质、暗能量等等。
我们有一个模型，能很好解释、拟合数据，只需指定几个参数。有人说：“哦，那只是凑数因子。有足够多凑数因子，什么都能解释。”但从数学角度，模型的关键是，参数数目应少于观测数据点。
如果模型有10个参数，解释10条观测，那完全没用，叫过拟合。但如果只有两个参数，却解释一万亿条观测，那就是另一回事。暗物质模型基本如此，我想它有14个参数，却能解释天文学家拍字节级的数据。
可以把理论理解为，一种物理数学理论，是对宇宙、对数据的压缩。你有拍字节的观测，希望压缩成一个五页就能描述、只需指定若干参数的模型。如果它能在合理精度内拟合几乎所有观测，压缩得越多，理论就越好。
事实上，宇宙及其中一切最令人惊讶的事情之一，是它竟然可以压缩。这就是数学“不合理的有效性”。
对，爱因斯坦有句类似的话：“宇宙最不可理解的地方，是它竟然可以理解。”
对，而且不只是能理解，还能写出 E=mc² 这样的方程。
这其实可能有某种解释。数学中有一种现象叫普适性：许多复杂系统在宏观上的表现，来自微观层面大量细小相互作用。通常，考虑到组合爆炸，你会觉得宏观方程应该比微观方程复杂无穷多、复杂到指数级。如果要完全精确求解，确实如此。例如，要模拟一盒空气中的所有原子……
阿伏伽德罗常数非常大，粒子数量极其庞大。如果逐个追踪，简直荒唐。但宏观尺度上会涌现某些定律，几乎不依赖微观究竟怎样，或者只依赖极少几个参数。
所以，如果要模拟一盒拥有极大量粒子的气体，只需知道温度、压力、体积，以及五六个参数，就能模拟这些10的23次方个，或类似数量的粒子几乎所有你关心的性质。从数学上，我们对普适性的理解远未达到希望的程度，但有些简单得多的玩具模型，能很好理解为什么会出现普适性。最基本的例子，是中心极限定理，它解释了为什么钟形曲线在自然界到处出现，为什么这么多事物服从所谓高斯分布，也就是著名的钟形曲线。现在甚至有个相关表情包。
而且那个表情包的适用面也很广，表情包也有普适性。
对，愿意的话，可以再上一层。但有很多很多过程。例如，取许多独立随机变量，用不同方式取平均，可以简单平均，也可以更复杂。我们能在多种情况下证明，会涌现钟形曲线、高斯分布，这是令人满意的解释。
有时却不会。如果有许多不同输入，而它们以某种系统性方式相关，就会出现与钟形曲线相去甚远的东西。知道［00:49:55处听不清］何时失效，也很重要。所以，普适性并非百分之百可靠。全球金融危机就是著名例子。人们以为抵押贷款违约有某种高斯行为：十万名有房贷的美国人中，多少比例会违约？如果完全去相关，就会呈钟形曲线，可以管理期权、衍生品等风险，有一套非常漂亮的理论。但如果经济中的系统性冲击，能让所有人同时违约，那就是非常非高斯的行为，而2008年对此考虑得不够充分。
我想，现在人们更意识到，系统性风险其实是大得多的问题。模型漂亮、好看，不代表符合现实。因此，数学上算清模型会怎样，非常重要；科学上验证模型什么时候符合现实、什么时候不符合，也非常重要。两者都需要。但数学能帮助，比如中心极限定理告诉你，如果有不相关等特定公理，所有输入彼此不相关，就会有这种高斯行为，事情就好办。它告诉你，该去哪里寻找模型弱点。
所以，如果你在数学上理解塞迈雷迪定理，而有人提出用这些高斯［00:51:32处听不清］之类来模拟违约风险，受过数学训练，你就会说：“好，但你所有输入之间，有什么系统性相关？”然后可以问经济学家：“这个风险有多大？”再去查找。因此，科学与数学之间始终存在协同。
谈到普适性，你以研究范围极广而闻名、备受赞誉，让人想起一百年前的希尔伯特。事实上，伟大的菲尔兹奖得主蒂姆·高尔斯说过，你是我们这个时代最接近希尔伯特的人。他是你的同行。
哦，对，是好朋友。
总之，你以能够同时深入、广泛地研究数学而著称，所以最适合回答这个问题：数学那些不同领域之间，是否有线索相连？整个数学是否有某种深层的底层结构？
肯定有许多连接线索。数学的很多进步，都可以用这样的故事来描述：两个此前没有联系的领域，后来找到了联系。
一个古老例子是几何与数论。古希腊时代，人们把它们视为不同学科。数学家会两者都研究，例如欧几里得最著名的是几何，但也研究数。不过，当时不太认为它们相关。也有一点联系，比如可以说这个长度是那个的五倍，因为可以取五份同样长度等等。但直到笛卡尔发展解析几何，人们才用两个实数来参数化平面这个几何对象，于是几何问题能转化成关于数的问题。
今天，这几乎显得平凡，没有什么内容。当然，平面就是 X、Y，因为我们一直这样教，已经内化了。但那是重大进展，两个领域统一了。这个过程在数学里反复发生。代数与几何曾经分离，现在有代数几何把它们联结，如此一次又一次。这肯定是我最喜欢的数学类型。
我觉得，数学家有不同风格，像刺猬与狐狸。狐狸对很多事知道一点，刺猬则把一件事了解得非常、非常深。数学中，两类人都有，也有人能扮演两种角色。我想，数学家之间理想的合作需要多样性，比如一只狐狸与许多刺猬合作，或者反过来。我肯定主要认同狐狸。我有点喜欢“套利”：学会一个领域怎样运作，学会它的技巧，再去另一个人们认为不相关的领域，却能把技巧改造后用过去。
也就是看到领域之间的联系。
对。别的数学家有些比我深入得多，真正是刺猬。他们了解一个领域的一切，在那个领域更快、更有效，但我可以给他们一些额外工具。
你说过，自己可以既是刺猬也是狐狸，取决于情境、合作。如果可能，能谈谈这两种思考问题方式的区别吗？比如，遇到新问题，寻找联系，与高度专注一个方向，有什么不同？
我更习惯狐狸模式。对，我喜欢找类比、叙事。我会花很多时间……看到一个领域的结果，我喜欢它，觉得很酷，但不喜欢证明，因为用了自己不太熟悉的数学类型，我常会试着用偏好的工具，重新证明一次。
常常，我的证明更差，但通过这个练习，我就能说：“哦，现在明白另一个证明想做什么了。”由此，也能理解那个领域使用的工具。所以，这很探索性，在陌生领域做疯狂尝试，常常重新发明轮子。刺猬式风格则更像学者，非常依赖知识，紧跟领域每项进展，了解全部历史，非常清楚每种技巧的准确强项与弱点。我觉得，相比寻找叙事，更依赖计算。我也能这样做，但有些人非常擅长。
我们退一步，也许看看一个稍浪漫化的数学版本。你说过，小时候数学更像解谜活动。什么时候第一次遇到某个问题或证明，意识到数学也可以有优雅与美？
好问题。我到普林斯顿读研究生时，约翰·康威还在那里。他几年前去世了。我记得，最早听的几场研究报告中，有一场是康威讲所谓“极端证明”。
康威思考各种事情的方式非常惊人，总能想到别人通常想不到的角度。他把证明本身看成占据某种空间。比如，要证明素数有无穷多个，可以有各种证明，沿不同轴来排列：有的优雅，有的长，有的初等，等等。于是形成一团点，所有证明的空间本身有某种形状。他感兴趣的，就是这个形状的极端点。在所有证明中，哪个不惜牺牲其他方面，只求最短？哪个最初等？诸如此类。
他举了几个著名定理，再给出自己认为在不同方面最极端的证明。这让我大开眼界：有趣的不只是证明一个结果，已有证明后，还能从不同方面优化。证明本身也有工艺可言。
这肯定影响了我的写作风格。本科做数学作业时，大家鼓励你写出任何有效证明，交上去，得个对勾，就继续。但如果希望结果真正有影响，被别人读，不能只是正确，还应该读起来愉快、有动机、能改造推广到别的东西。其他学科也一样，比如编程。数学与编程有很多类比，如果你没注意到，我喜欢类比。你可以写一段“意大利面代码”，快速粗糙地完成某任务，确实能运行。但好代码有许多原则，让别人能使用、扩展，减少错误，等等。数学也有类似的东西。
对，首先，这里面有很多美妙想法，而［00:59:42处听不清］是数学、计算机科学有史以来最伟大的头脑之一。光是考虑所有证明的空间，再问“这个空间长什么样，极端在哪里”，就很了不起。
你提到编程类比，很有意思，因为有一种活动叫代码高尔夫，我也觉得很美、很好玩。人们用不同语言，尽量写出能完成特定任务的最短程序。我想甚至有比赛。这也很好地检验，不只是程序、这里对应证明，也检验不同语言。也许像是换一种记号，去完成不同任务。
对，会学到很多。看起来也许是无聊练习，但能产生许多洞见。如果没有这个人为追求的目标，也许就看不到。
对你而言，数学里最美、最优雅的方程是什么？人们常从简单中寻找美。比如 E=mc²，几个概念合到一起。所以，欧拉恒等式常被认为是数学最美方程。你能感受到它的美吗？
能。像我说的，最吸引我的是不同事物之间的联系。如果你……π等于-1［原文此处公式表述不完整］。对，人们说它用了所有基本常数。好，这很可爱。但对我来说……
指数函数由欧拉用于衡量指数增长。复利、衰减，以及任何连续增长、连续减小，增长衰减，或者膨胀收缩，都用指数函数模拟。而π来自圆和旋转。比如要把针转100度，需要转π弧度［原文如此］；i、复数则代表实轴虚轴的互换，也就是90度旋转，方向的改变。
指数函数代表沿当前方向的增长、衰减。把i放进指数，运动就不再沿着当前位置的方向，而是与当前位置方向垂直，因此发生旋转。所以，e的πi次方等于-1，告诉你，旋转了π这么长时间，就会朝向反方向。它通过复化、通过πi对应的旋转，把几何中的伸缩、指数增长或动力学统一起来。它将动力学、几何、复数联系到一起；因为这个恒等式，它们在数学中几乎成了邻居。
你把不同领域的符号汇集称为“可爱”，那么这种相遇，只是无关紧要的副产物，还是说，当那些老朋友在夜里聚到一起时，符号的结合真的有价值？
嗯，这能确认你掌握了正确概念。最初研究任何东西，都要测量、命名。有时因为模型离现实太远，你会把最好的名字给错对象，直到后来才发现，什么真正重要。
物理学家有时也会这样，但后来没问题。
实际上，物理［01:03:19处听不清］，E=mc²，其中一个大事就是E，也就是能量。亚里士多德最初提出运动定律，后来有伽利略、牛顿等，他们看见能测的东西：质量、加速度、力等等。所以，比如牛顿力学里，F=ma是著名的第二定律。这些就是主要对象，被放在理论中心。
后来，人们分析方程，才发现似乎总有某些量守恒，尤其是动量与能量。事物拥有能量，其实不是显然的，不像质量和速度那样能直接测量。但渐渐地，人们发现，这是非常根本的概念。
19世纪，哈密顿最终把牛顿物理定律重新表述为哈密顿力学，能量，也就是如今所谓哈密顿量，成了主导对象。只要知道任何系统的哈密顿量如何确定，就能完整描述动力学，所有状态如何变化。它是真正的核心角色，但起初并不明显。这种视角转变，在量子力学到来时很有帮助。早期物理学家试着把牛顿式思维——一切是粒子——搬到一切像波的量子力学中，遇到很大困难，怎么看都非常古怪。
如果问：“F=ma的量子版本是什么？”很难回答。但结果发现，经典力学幕后那个核心哈密顿量，也同样是量子力学的关键对象。这里也有一个叫哈密顿量的东西，只是类型不同：它是算符，而非函数。但同样，一旦指定它，就指定了整个动力学。
有一个薛定谔方程，告诉你，有了哈密顿量后，量子系统怎样演化。两者放一起看，完全不同，一个涉及粒子，一个涉及波等等。但由于这个核心，你就能把许多直觉与事实，从经典力学转到量子力学。例如，经典力学有诺特定理：物理系统每有一个对称性，就有一个守恒定律。物理定律具有平移不变性，向左走10步，经历的物理定律仍相同，对应动量守恒。转一个角度，物理定律还是一样，对应角动量守恒。等10分钟，物理定律也不变。
等10分钟，物理定律仍相同，所以有时间平移不变性，对应能量守恒。因此，对称性与守恒之间有根本联系。量子力学也一样，尽管方程完全不同，但因为两者都来自哈密顿量，它控制一切。哈密顿量每有一个对称性，方程就有一个守恒定律。找到正确语言后，事情就清楚得多。
我们还无法统一量子力学与广义相对论，原因之一，就是尚未弄清根本对象是什么。比如，我们必须放弃把空间和时间看成近似欧几里得空间的观念。我们知道，极小尺度有量子涨落、时空泡沫，再用笛卡尔坐标X、Y、Z，根本无法起步。但我们不知道用什么替换。我们还没有那种概念，没有能像哈密顿量一样，把一切组织起来的对应物。
你的直觉认为，有万有理论吗？真的可能找到一种语言，把广义相对论与量子力学统一？
我相信有。物理史和数学一样，多年来不断统一。［01:07:26处听不清］磁原来是分开的理论，后来麦克斯韦统一了它们。牛顿把天体运动与地面物体运动统一，等等。所以，应该会发生。但再回到观测与理论的模型，我们的部分难题是，物理成了自身成功的受害者。两大理论，广义相对论和量子力学，如今太好，两者合起来覆盖了我们能做的99.9%观测。必须去做极其疯狂的粒子加速，或者看早期宇宙，或者极难测量的东西，才可能得到偏离两种理论的结果，进而弄清怎样结合。但我有信心，我们做了几百年，以前进步过，没有理由停下来。
你觉得，会是数学家发展出万有理论吗？
常发生的情况是，物理学家需要某种数学理论时，数学家此前已经做出了先驱版本。比如爱因斯坦开始意识到空间弯曲，就去问数学家：“有没有一种已有的弯曲空间理论可能有用？”对方说：“哦，有，我想黎曼做过。”黎曼确实发展了黎曼几何，正是一种研究空间以各种一般方式弯曲的理论，结果几乎恰好满足爱因斯坦理论的需要。这又回到数学不合理的有效性。我觉得，能够很好解释宇宙的理论，往往也涉及那些很适合解决数学问题的数学对象。说到底，它们都是以有用方式组织数据。
只是感觉，你可能得去一个非常古怪、很难直觉理解的地方。比如有弦理论。
对，几十年来，它一直是主要候选。我想，它正在慢慢失去时髦地位，因为不符合实验。
所以，像你说的，一大挑战当然是，两种理论太有效，实验很难做。另一个挑战，是你不只是偏离时空，而是进入疯狂多维的空间，做各种古怪事情。我们已经离最初那个平坦地球远得不可思议，而凭我们这些猿类后裔有限的认知，要直觉理解现实究竟是什么，非常困难。
这就是类比为什么那么重要。对，地球是圆的并不直观，因为我们就待在上面。但对于一般圆形物体，我们直觉很好，也了解光怎样传播等。一个好练习，就是弄清用圆地球、圆月球模型，怎样轻易解释日月食、月相等。拿篮球、高尔夫球和光源，就能亲自演示。因此，直觉是有的，只是需要把它迁移过去。
从平地走到圆地球，对我们的思想是巨大跃迁，因为生活大多在平地上。我们把这些知识装进脑中，觉得理所当然。因为科学已建立许多证据，我们把很多事看得理所当然，但其实我们正待在一块穿越太空的圆石头上。这是巨大跨越。随着不断进步，还得经历一串这样的跨越。
对，所以现代科学也许再次成了自身成功的受害者：为了更准确，必须离最初直觉越来越远。因此，对没有经历完整科学教育的人，它看起来更可疑。我们需要更多基础联系。有些科学家做了很好的公众传播，但在家也能做很多科学实验，网上也有很多视频。我最近和格兰特·桑德森做过一个视频，之前提过，讲古希腊人怎样测量月球距离、地球相关距离等，用的技巧你也能复现。不一定全都需要高级太空望远镜，或令人望而生畏的数学。
对，我强烈推荐。我想你还做过讲座，也和格兰特拍了很棒的视频。试着进入那个时代人的头脑，是美妙体验：一切笼罩在神秘中，你站在这颗星球上，不知道它的形状、大小，看到一些星星、一些东西，试着定位自己在世界中的位置，并对远处的地方作出某些一般判断。
视角转变非常重要。人们说旅行拓宽心胸，这是思想旅行。把自己放进古希腊人、其他时代人的头脑，提出假设，球形［01:12:41处听不清］，无论什么，展开猜想。这正是数学家做的，也是一些艺术家做的。
不可思议的是，即使限制极大，仍能得出非常有力的结论。这就是它鼓舞人的原因。回看历史，在没有多少工具时，竟然也能弄清那么多。
如果提出公理，数学就会……你把公理推到结论，有时能走到离最初假设相当远的地方。
我们继续待在奇异领域。你提到广义相对论，也为爱因斯坦场方程的数学理解作过贡献。能解释一下相关工作吗？从数学上，广义相对论哪些方面让你感兴趣、觉得有挑战？
我研究过一些方程。有一种叫波映射方程，或σ场模型，并不是时空引力本身的方程，而是可能存在于时空之上的某些场。爱因斯坦相对论方程描述空间和时间本身，但上面还存在其他场，比如电磁场、杨–米尔斯场。不同方程构成一个层级，爱因斯坦方程被认为是其中最非线性、最困难的之一，波映射方程则在相对较低的位置。它是一种波，在每个点都被限制在球面上。可以想成时空中一群箭头，指向不同方向，却像波那样传播。你拨动一个箭头，就会传播，让其他箭头都动起来，有点像麦田里的麦穗。
我感兴趣的是全局正则性，仍然问：这里的能量，是否可能聚集到一点？我考虑的方程实际上是临界的，各尺度的行为大致相同。我勉强证明，实际上无法强迫所有能量集中一点；在关键时刻，能量必须稍稍散开，只要一点点，就能保持正则。那大约在2000年。其实，这也是我后来对［01:14:58处听不清］感兴趣的部分原因。我为解决它发展了一些技巧。问题因为球面曲率而高度非线性，其中某种非线性效应是非微扰的；按通常视角看，它似乎比波动方程的线性效应还大。因此，即使能量很小，也很难控制。
但我发展了一种所谓规范变换。方程有点像麦穗在演化，来回弯曲，运动很多。但如果想象在空间不同点装上小摄像机，让它们随动，捕捉大部分运动，从而稳定画面，那么在这个稳定后的视角下，流动就线性得多。我找到了一种变换方程的方法，减少非线性效应，随后得以解方程。我是在澳大利亚探望阿姨时找到这个变换的。当时想理解所有这些场的动力学，纸笔做不到，电脑也不熟练，做不了模拟。
所以，最后我闭上眼，躺在地板上，想象自己就是这个向量场，滚来滚去，试着看怎样改变坐标，能让各方向上的东西都以相当线性的方式运动。对，我阿姨恰好进来，看到我这样，就问：“你这是在做什么？”
答案是：很复杂。
对，对。然后她说：“好吧，你是年轻人，我不问了。”
我得问，你怎样处理难题？如果能进入你思考时的头脑，你会在脑中把数学对象、符号形象化吗？通常思考时，你在想象什么？
大量纸笔。数学家会学会一种东西，我叫它“策略性作弊”。数学的美在于，可以随意改问题、改规则。别的领域做不到。工程师被要求“在这条河上造桥”，不能说“我想改在那边造”，或者“我想用纸，不用钢”。但数学家可以随便做。像玩一款能无限输入作弊码的游戏。比如维度很大，我先设成1，解决一维问题。这里有主项和误差项，我就作个球形牛假设，［01:17:45处听不清］项为零。
所以，解决问题不应该开“铁人模式”，把困难拉满。面对合理的数学问题，如果有10件事让你难受，就找一个关闭其中9种困难、只保留一种的版本，先解决它。开10个作弊，游戏就没意思了；开9个，解决一个问题，就会教你怎样处理那一项困难。然后关掉这一项，换另一项开启，再解决。等10个问题、10种困难都分别会处理，才开始一次合并几个。
小时候，我看过很多自己文化里的香港动作片。每到打斗，英雄可能被100个坏人包围，但动作设计总让他一次只对付一个，打倒再换下一个。因此能全部击败。但如果坏人聪明些，一起扑上去，电影会差得多，可他们会赢。
你通常用纸笔，还是电脑和 LaTeX？
主要还是纸笔。我办公室有四块大黑板，有时要把关于问题知道的所有东西都写上去，再坐到沙发上，看整个全貌。
全是符号吗，还是也有图？
哦，有很多画图，很多只有自己懂的特殊涂鸦。黑板的好处是能擦掉，非常自然。我开始越来越多用电脑，部分因为 AI 让简单编程轻松很多。以前，想画一个有点复杂、带迭代的函数，就得回想怎么建立 Python 程序、for循环怎么写、再调试，可能花两小时。现在，十到十五分钟就能完成。我越来越多用电脑做简单探索。
我们聊聊 AI。也许好的切入点，是一般性的计算机辅助证明。能介绍 Lean 形式证明编程语言吗？它如何帮助数学家，成为证明助手？你怎么开始用，它又怎样帮到你？
Lean 是一种计算机语言，类似 Python、C 等标准语言，只不过多数语言关注可执行代码。每行代码做事情，翻转比特，让机器人运动，或在网上传递文本。Lean 也可以做到，也能像传统语言那样运行，但还能生成证书。Python 之类的软件语言可能做计算，告诉你答案是7。好，3+4是不是等于7？
Lean 不只给答案，还能给出证明，说明怎么从3+4得到7，以及所有步骤。所以，它创建更复杂的对象，不只是陈述，还附有证明。每行代码都是把已有陈述拼起来，形成新陈述。这想法并不新，叫证明助手，提供能构造相当复杂数学证明的语言，生成证书。如果信任 Lean 的编译器，就能百分之百保证论证正确。他们把编译器做得非常小，而且 Lean 有几种不同编译器可用。
能让人直观理解，纸笔证明与用 Lean 编程有什么不同吗？把一个陈述形式化有多难？
很多数学家参与设计 Lean，所以它尽量让一行代码对应一行数学论证。比如引入变量、用反证法，都是常见步骤。理想上，应该一一对应，实践中却不是。因为对 Lean 讲证明，就像给极其较真的同事解释，他会问：“好，你真是这个意思？如果为零呢？这一步怎么证明？”Lean 有很多自动化，尽量少烦人。例如，每个数学对象都要有类型。我说X，它是实数、自然数，还是函数？非正式写作中，有上下文就常常清楚。比如“令X为Y与Z的和”，Y、Z已是实数，X也应是实数。Lean 能处理很多这类推断，但偶尔会说：“等等，能多解释一下这个对象是什么、属于什么类型吗？”你得在更哲学的层面思考，不只是计算，也要思考每个对象到底是什么。
它用大语言模型之类做类型推断，判断是不是实数吗？
用的是更传统、所谓“老式人工智能”。这些东西可以表示成树，总有算法把一棵树与另一棵树匹配。
所以，判断某个东西是实数还是自然数，确实可行。
每个对象都有来源历史，你可以沿着追溯。
哦，明白。
对，它为可靠性而设计，因此内部不用现代 AI，那是另一套技术。人们开始在 Lean 之上用 AI。数学家试着在 Lean 中编写证明，常会有某一步：“好，现在想用微积分基本定理做下一步。”Lean 开发者建立了一个庞大项目 Mathlib，收集了数以万计关于数学对象的有用事实。
微积分基本定理就在里面某处，但得找到。如今很大瓶颈其实是引理搜索：你知道工具在里面，却得把它找出来。Mathlib 有各种专门搜索引擎，但现在有大语言模型，你可以说：“这里需要微积分基本定理。”例如，我编程时，在 IDE 装了 GitHub Copilot 插件，它扫描文本，看我需要什么。我甚至可以打一句“现在要用微积分基本定理”，它就会建议：“好，试这个。”也许25%的时候完全有效，另外10%到50%的时候不完全对，但足够接近，我会想：“哦，这里那里改一下，就行。”还有一半时候，给的完全是垃圾。但人们开始在上层稍微用 AI，主要相当于高级自动补全：你打一行证明的一半，它就能替你找、告诉你后面怎么写。
对，但尤其高级，大写F的“Fancy”，能减轻数学家从纸笔转向形式化时的阻力。
对。现在我估计，把证明形式化所需的时间精力，大约是写出来的10倍。所以，能做，但烦。
可是，跟这么较真的同事合作，不会毁掉做数学家的整个感觉吗？
对，如果只有这一面会。但有些情况下，形式化反而更愉快。我形式化过一个定理，最终陈述里有常数12。这个12贯穿整个证明，其他所有数字都要检查，确保与最终的12一致。我们写了用12的论文，几周后，有人说：“重做几步，就能把12改进成11。”纸笔下，每次改参数，都得逐行检查整篇证明仍成立。可能有些微妙之处，你不知不觉用到了12的某种性质，自己都没意识到。因此，证明可能在某个微妙地方坏掉。
我们已经把常数12的证明形式化。新论文出来，就说：“哦。”原证明花了20个人、三周时间形式化。现在来更新到11。用 Lean，可以把主定理里的12改成11，运行编译器，几千行代码中，90%仍然能用，只有几处标红：“现在无法证明这些步骤。”它立即定位需要改的地方，而其他正常的部分都可以跳过。
如果采用好的编程习惯，大多数行都不会变红。比如不把常数硬编码，使用聪明策略等，就能把需要修改的地方缩到很小范围。所以，一两天内，我们就更新了证明。过程很快：改一处，现在有10处不成立；逐个改，每处又冒出五处，但这个过程比纸笔顺畅得多，更容易收敛。
这是写。那能读吗？如果别人的证明是这样写的，跟论文相比，读起来……？
对，证明更长，但每个局部更容易读。拿一篇数学论文，跳到第27页第六段，看其中一行数学，我往往不能立刻读懂，因为它依赖各种定义，可能要回到前面10页去找，证明也散落各处，基本上只能顺着读。不像小说，理论上打开中间也能开始阅读。这里有大量上下文。但在［01:28:23处听不清］Lean 中，把光标放在一行代码上，每个对象都能悬停查看：它是什么、从哪来、依据是什么。追溯起来，比翻数学论文容易得多。
Lean 真正带来的一件事，是能够在非常细的原子尺度上合作证明，以前做不到。传统纸笔合作，要么在黑板前真正互动；如果邮件交流，基本上得分块：“我完成第三节，你做第四节。”无法同时在同一个东西上合作。
但用 Lean，你可以形式化某段证明，然后说：“我卡在第67行，要证明这件事，但不太行。这三行代码有问题。”由于全部上下文都在，别人可以说：“哦，我明白，你需要这个技巧或那个工具。”可以进行极细粒度对话。因此，有了 Lean，我能和世界各地几十人合作，多数从未见面，甚至不一定知道他们证明工作的可靠程度，但 Lean 给我可信证书，所以可以做无需彼此预先信任的数学。
这里有很多有意思的问题。首先，你以善于合作出名。合作解决数学难题，正确方式是什么？分而治之，还是聚焦一个部分、共同头脑风暴？
总是先有头脑风暴。数学研究项目的本质，是一开始不知道怎样做。不同于某些理论已确立几十年、主要难在实施的工程项目。你甚至得弄清哪条路正确。这就是我说先作弊的原因。回到造桥类比，先假设预算无限、劳动力无限，能造吗？好，预算仍无限，但劳动力有限，能吗？如此继续。当然，没有工程师真能这样，他们要求固定。但起初总有即兴合奏式阶段，尝试各种疯狂东西，作各种不现实、打算以后修补的假设。
试着看，是否至少有一条可能有效的路线骨架。然后，希望它把问题拆成更小、但仍不会解决的子问题，再聚焦子问题。有时，不同合作者擅长不同东西。我著名成果之一，是与本·格林的定理，如今叫格林–陶定理，陈述素数包含任意长度的等差数列。这是对他已有的［01:31:26处听不清］的修改。我们合作时，本已经证明长度为3的类似结果：素数中有很多很多长度为3的等差数列，某些素数子集也有。但他的技巧只适用于三项，无法推广更长。
我有来自［01:31:48处听不清］理论的技巧，之前一直在琢磨，当时比本更熟悉。如果能证明某个与素数有关集合的随机性性质，有一个技术条件，如果我能得到、如果本能提供这个事实，我就能推出定理。但我的要求是极难的数论问题，他说：“我们没法证明这个。能不能用一个更弱、我有机会证明的假设，来证明你那部分？”他提了一个能证明的条件，却对我太弱，用不了。因此，我们来回讨论，有点像黑客……
换不同的作弊方式……
对，我想多作弊，他想少作弊。最后，我们找到了一个性质，既是他能证明的，也是我能用的，于是证明了定理。合作有各种动态，每次都有故事，没有两次相同。
反过来，像你说的 Lean 编程，又几乎是另一种故事。可以为问题建立一个蓝图，然后真正在 Lean 中分而治之，各自做不同部分，由计算机证明检查器，确保沿途一切正确。
对，它让所有东西兼容、可信。目前只有少数数学项目能这样拆。在现有水平，大多数 Lean 工作是在形式化人类已经证明的结果。数学论文某种意义上本身就是蓝图，把困难陈述、大定理拆成一百个小引理，但往往细节不够，不能直接逐个形式化。
蓝图就是极其细致的论文版本，每步尽量详尽解释，尽量自成一体，或只依赖明确少数已证明陈述，使生成的蓝图图结构中，每个节点都能独立处理，甚至不必知道整体怎样运作。像现代供应链，要造 iPhone 或其他复杂物体，没人能独自制造整个东西，但可以有专家，只要从别家公司得到某些零件，就能把它们组合成稍大的零件。
§02访谈文稿 2
我觉得，这种可能性很令人兴奋。如果找到能这样拆解的问题，就可以有几千人贡献，完全分布式。
我之前说过理论与实验数学的划分。现在多数数学是理论，实验只一点。我觉得，Lean 以及 GitHub 等软件工具组成的平台，能让实验数学扩展到远大于如今的规模。现在想探索某种数学规律，需要代码把规律写出来。有时计算机代数软件包能帮忙，但经常只是一个数学家写大量 Python。编程很容易出错，因此，让别人帮忙写模块不太实际：一个模块有错，整体就不可靠。于是，会出现由非专业程序员的数学家写的专用意大利面代码，笨拙、缓慢。因此，很难真正大规模生产实验结果。
但有了 Lean，我已经开始一些项目，不只实验数据，还实验“证明”。我有个叫“等式理论项目”的工作。基本上，我们生成了约2200万个抽象代数小问题。也许先退一步，解释项目。抽象代数研究乘法、加法等运算，以及抽象性质。比如，乘法可交换，X乘Y总等于Y乘X，至少对数如此；也可结合，X乘Y再乘Z，与X乘上Y乘Z相同。这些运算服从某些律，却不服从其他律，比如X乘X不总等于X。因此，任一运算有些规律成立，有些不成立。我们生成了约4000条这类可能的代数规律，某些运算可以满足它们。
问题是，哪些律能推出另一些律？比如，交换律能推出结合律吗？答案不能，因为可以描述一种满足交换律、却不满足结合律的运算。给出例子，就说明交换性不蕴含结合性。但有些律确实能通过代入等方式推出其他律，可以写代数证明。因此，我们考察这约4000条规律之间所有成对关系，总共约2200万对。每对都问：这条能推出那条吗？能，就给证明；不能，就给反例。2200万个问题，每个交给本科代数学生，都有相当机会解出。当然，其中大约一百个确实很难，但多数容易。项目就是确定整个图，哪些推出哪些。
顺便说，这个项目太不可思议了。点子好，也以惊人规模检验了我们一直在讨论的东西。
以前不可行。文献里最先进的，大约是15个方程，以及它们如何互相蕴含，那已接近人类纸笔能力的极限。所以，必须扩大规模，需要众包，又必须信任所有贡献。没人能检查2200万份证明，必须计算机化。因此，有了 Lean 才成为可能。我们也原本希望多用 AI。如今项目几乎完成，2200万项中，只剩两个未解决。
哇。
其实，那两个也已有纸笔证明，正在形式化。今天早上，我还在做最后收尾，所以几乎完成。
太不可思议了。
对，很棒。
有多少人参与？
约50人，数学里算巨大数量。
巨大数量，太疯狂了。
对，我们会有一篇50位作者的论文，还带一个大附录，说明各人贡献。
有个问题，也许可以再一般地谈。这样一群人，能不能按专业水平组织贡献？好，我在问很多异想天开的问题，但我想象一群人，也许未来还有一些 AI，能不能有类似 Elo 评分的机制？
能不能有类似 Elo 评分，把它游戏化？
Lean 项目的好处是，数据自动都有。一切上传 GitHub，GitHub 记录谁贡献什么，所以随时能事后生成统计，比如某个人贡献多少行代码。这些指标非常粗糙。我肯定不希望它成为终身教职评审依据。但企业计算领域，大概已经有人用这些指标评估员工表现。再说一次，这是学术界觉得有点可怕的方向，我们不太喜欢指标。
但学术界还是用指标，只是旧指标，比如论文数。
对，确实……
感觉这个指标虽有缺陷，却更朝正确方向走，对吧？
对。
很有意思，至少是很有意思的指标。
对，值得研究。可以研究这些是否更能预测表现。有个问题叫古德哈特定律：如果统计数字真正被用来激励表现，就会有人钻空子，不再是有用的衡量。
哦，人类，总要钻……
这是理性的。因此，我们项目采用自我报告。科学界其实有标准贡献分类，比如概念、验证、资源、编程等等，大约十二种。我们请每位参与者，在作者与类别的大矩阵里，勾选自己认为有贡献的格子，给个大致印象。比如做了编程、提供计算资源，但没有做纸笔验证之类。
我觉得可行。传统数学按姓氏字母顺序排作者，没有自然科学那种第一作者、第二作者的习惯，我们为此自豪，让作者地位相同。但规模这么大，就不太适用。十年前，我参与过“多数学项目”，众包数学，却没有 Lean，所以必须由人工主持人检查所有贡献是否有效，这成了巨大瓶颈。不过，仍有约10位作者的项目。当时，我们决定不区分谁做什么，而用一个统一笔名，创造了名为 DHJ Polymath 的虚构人物，效仿［01:41:51处听不清］，也就是20世纪著名数学家群体的笔名。
论文用笔名发表，所以我们谁也没正式作者署名。后来发现，这不太好，原因有二。第一，申请终身教职等时，无法把论文作为自己的正式发表成果，因为没有作者署名。第二，后来才意识到，人们提到这些项目，会自然用其中最有名的人指代：“这是蒂姆·高尔斯的多数学项目。”“这是陶哲轩的多数学项目。”却不提其他19人或类似数量的参与者。
哦，对。
所以，这次尝试不同方式：人人都是作者，再附一张贡献矩阵，看看效果。
两个项目都很棒，你参与这样大型合作，本身就不可思议。几年前，我看过凯文·巴扎德介绍 Lean 的演讲，你也说这可能是数学未来。所以，世界上最伟大的数学家之一拥抱这种似乎正在铺就数学未来的东西，也很令人兴奋。
所以，我得问，怎样将 AI 整合进整个过程？DeepMind 的 AlphaProof 用强化学习训练，材料是 IMO 题目的成功与失败 Lean 形式证明。这算高水平高中……
哦，非常高水平，对。
非常高水平的高中数学题。你怎么看这个系统？能证明高中题的系统，与能证明研究生级问题的系统，差距在哪里？
对，难度随着证明步骤数呈指数增长，是组合爆炸。大语言模型会犯错。如果一个证明有20步，而你的［01:44:01处听不清］每步有10%概率走错方向，就极难真正走到最后。
稍微岔开一下，把自然语言映射成形式化程序，这个问题有多难？
哦，极难。自然语言容错性强，有些语法小错、用第二语言讲话，也还能理解意思。但形式语言一个小地方错了，整个东西就没意义。甚至形式语言转形式语言也很难，有不同、不兼容的证明助手和语言，比如 Lean、Coq、Isabelle 等。连从一种形式语言转成另一种，都是未解问题。
很有意思。好，但一旦已经有形式语言，他们就用强化学习训练的模型，有点类似用于围棋的 AlphaZero，去尝试构建工具；我想几何题还有另一个模型。
对。
这个系统什么地方让你印象深刻？差距又在哪里？
对，我们之前谈过，原本令人惊叹的东西，久了会变得习以为常。如今，不知怎么，几何已经成了可以解决的问题。
对，确实。不过，能看到仍然很美……
对，这些出色工作展示了可能性。但目前的方法无法扩展。谷歌服务器花三天时间，解一道高中数学题，这不是可扩展的前景，尤其复杂度增加时，成本呈指数增长。
应该提一下，他们达到银牌水平，等同于银牌表现。
首先，他们用时远超规定时间，还有人类协助，先帮助形式化题目。另外，他们把自己的解答按满分算，当然我想既然形式上验证了，也公平。有人在努力，未来某个时候会提议办 AI 数学奥林匹克：人类选手拿到正式题目时，AI 也同时拿到，在相同时间内完成，由同样裁判评分。这意味着，输出得是自然语言，而非形式语言。
哦，希望能成，希望下一次 IMO 就有。
这次 IMO 不会，时间限制下表现还不够。但有较小比赛，也有只需数值答案、不需长证明的比赛。AI 对有具体数值答案的问题强得多，因为强化学习容易做：“对了，错了。”信号很清楚。但长证明要么形式化，让 Lean 判对错；要么非形式化，需要人类评分。想做几十亿次强化学习，雇不到足够人来评分。大语言模型就连普通文本的强化学习已经够难，现在还得雇人，不只点赞点踩，而是数学上检查输出，那太贵了。
探索一下可能的未来：数学中，人类最特别的是什么，是你觉得 AI 一时难以攻克的？发明新理论？提出新猜想，而非证明猜想？构建新抽象、新表示？还是像 AI 陶哲轩一样，看见不同领域的新联系？
好问题。数学家的工作性质，长期以来变了很多。一千年前，要计算复活节日期，计算很复杂，但早在几个世纪前就自动化了，不再需要。过去还要做球面导航、球面三角计算，从旧大陆航行到新大陆，计算复杂，如今也自动化。甚至很多本科数学，AI 之前的 Wolfram Alpha 就能做，它不是语言模型，但能解决大量本科任务。所以，在计算、验证常规事情方面，比如给它一个偏微分方程问题，说：“能否用20种标准技巧解？”它回答：“20种都试了，这是100种组合和结果。”
我觉得这种会非常有效。解决一个问题后，把规模扩成让 AI 攻击一百个相邻问题。人类仍然……AI 现在真正困难的，是意识到自己走错了路。它可能说：“我要解决这个问题，把它分成这两种情况，试这个技巧。”有时运气好，题目简单，技巧对，就解出来；有时提出的路线完全胡来，却看起来像证明。
这就是大语言模型生成数学的一个烦人之处。人类也会产出低质量数学，比如没受正规训练的人投稿。但人类证明差，通常很快就看出来，因为犯基本错误。AI 生成的证明，表面上却可以毫无瑕疵。部分原因，是强化学习实际上训练它产出看起来正确的文字，对很多应用已经够用。因此，错误常非常隐蔽，等找到，又特别愚蠢，根本不是人类会犯的那种错。
对，在编程里真的很烦。我写很多程序，人类写低质量代码时，有所谓“代码异味”，马上能察觉迹象。但 AI 代码……
［01:50:53处听不清］。
你说得对，最后会找到一个很明显、很蠢的东西，却长得像好代码。
对。
很棘手，而且不知为何，要花功夫处理，就格外令人烦躁。
所以，这种“嗅觉”是人类有的东西。数学里也有隐喻的嗅觉，还不清楚怎样最终让 AI 复制。AlphaZero 等在围棋、象棋中进步，某种意义上，就是形成了对局面的嗅觉：对白方好，对黑方好。说不清为什么，但这种感觉能帮助布局。如果 AI 能获得对证明策略可行性的感觉，比如要把问题拆成两个小任务，它能说：“这看起来不错，两项都比原问题简单，也仍很可能为真，值得试。”或者：“不，你把问题弄糟了，两个子问题其实都比原题难。”随机尝试时，通常就是后者：把问题变难很容易，变简单却很少。如果它们有这种嗅觉，也许能开始与人类数学家竞争。
这很难，但不是竞争，而是合作。假设给你一个神谕，能完成你工作中的某一部分，让你与它合作，你希望它会什么？验证，比如检查代码，然后说：“对，陶教授，正确，这是很有前途的方向”？还是生成可能证明，再由你选正确的？或者生成不同表示，以完全不同方式看问题？
我想，以上都要。很大问题是，我们不知道怎样使用，因为这种范式以前没有：系统足够能干，理解复杂指令，能在大规模上工作，却又不可靠；在微妙之处有点不可靠，但又能给出足够好的输出。这组合很有意思。合作的研究生有点像这样，但没这么大规模；以前的软件能大规模工作，却又很狭窄。所以，我们得学会怎样用。你提到的蒂姆·高尔斯，其实2000年就预见过，设想二十五年后的数学会是什么样。
这很有意思。
对，他写过一篇文章，想象未来数学助手与自己的对话。他尝试解题，双方交谈，有时人提想法，AI 评价；有时 AI 提想法；有时需要计算，AI 就去做，说：“好，这里所需的100种情况都检查了。”或者：“你先说所有N都成立，我检查到100，目前不错。”或者：“等等，N=46有问题。”就是自由对话，不预先知道往哪里走，两边都可能提出想法、提出计算。
我跟 AI 做过这种对话：“好，我们合作解这个数学题。”题目答案我已经知道，就试着引导：“问题在这，我建议用这个工具。”它可能开始用，然后又退回自己原来想用的工具。必须不断把它拉到希望的路线，最后能强迫它给出想要的证明，但像放牧一群猫。我不仅得提示，还得检查输出。许多看起来能行，可我知道第17行有问题，基本上是在和它争论。个人投入比自己直接做更累，但这就是目前的水平。
会不会出现相变，不再像赶猫？也许来得比我们想象快。
我相信会。形式化方面，之前说过，所需时间是手写的10倍。借助现代 AI 和更好工具，Lean 开发者不断增加功能、改善友好度，这个倍数从9到8到7，没什么大不了。但某一天，它会降到1以下，就会相变。突然，写论文时先用 Lean，或者和能即时生成内容的 AI 对话，就合理了；期刊接受也会变自然。也许提供快速审稿：论文已有 Lean 形式化，只让审稿人评价意义、与文献的联系，而不太担心正确性，因为已认证。数学论文越来越长，除非特别重要，否则长文越来越难得到好审稿。确实是问题，而形式化来得正是时候。
随着工具和其他因素越来越好，Mathlib 可能会指数增长，形成良性循环。
过去有一种类似相变，就是 LaTeX 的采用。这是如今所有数学家都用的排版语言。以前，人们用各种文字处理器、打字机等等。某个时刻，LaTeX 比所有竞争者都容易用，几年内大家就换过来，发生剧烈相变。
一个很大胆的问题：哪一年、还要多久，AI 系统能成为合作证明的伙伴，成果达到菲尔兹奖水平？
好，要看合作程度，对吧？
不，是它也值得拿菲尔兹奖，功劳一半一半。
已经可以想象，获奖论文写作中有 AI 辅助。单是自动补全，就已经加快我的写作。一个定理的证明有三种情况，我写完第一种，自动补全提出第二种该怎么证明，而且完全正确，很好，省了五到十分钟打字。
但这种情况下，AI 拿不到菲尔兹奖。我们说的是20年、50年、100年？你怎么看？
我公开写过预测：到2026年，也就是明年，会有与 AI 合作的数学成果，不是菲尔兹奖级别，而是真正的研究级论文。
发表的想法，一部分由 AI 产生。
不一定是想法，至少有些计算、验证。
这已经发生了吗？
已经发生了。有些问题，通过复杂对话过程解决：AI 提议，人去试，构造不行，又可能提出别的想法。很难精确拆分功劳。肯定已有数学结果，需要人类和 AI 同时参与才能完成，但贡献难拆。这些工具没复制全部数学技能，却能复制一个非平凡比例，比如30%、40%，所以能补缺口。编程是好例子：我用 Python 很烦，我不是专业程序员，但 AI 大大降低了阻力，补上我的不足。AI 也开始很擅长文献综述。
当然，还会幻觉出不存在的参考文献，但我觉得能解决。正确训练，再用互联网核实，几年后应该能做到：你需要一个引理，问“以前有人证明过吗？”它做高级网页搜索，说有六篇论文出现过类似结果。现在也能问，但给六篇，也许只有一篇真实且相关，一篇存在却不相关，四篇是幻觉。目前成功率不是零，但垃圾太多，信噪比太差，所以最有用的情况，是你本来多少知道关系，只需要提醒，唤起潜意识里已记得的论文。
而不是帮助发现完全不知道、但正确的引用。
对，有时也能，但即使找到了，也埋在其他选项里，而其他……
……都不好。能够自动生成正确的相关工作部分，很美好。那可能也是相变，因为能正确分配贡献，让你跳出思想孤岛。
对，但目前还有大坎要过。像自动驾驶，可行之前，安全余量必须非常高。很多 AI 应用都有一个［02:01:54处听不清］问题：工具20%、80%的时候有效，却仍不够。某些方面，甚至比没用还糟。
换一种问菲尔兹奖问题的方式：哪一年，你醒来会真正吃惊？读到新闻，说 AI 做出了某个真正突破。类似菲尔兹奖，甚至一个猜想，或者像 AlphaZero 在围棋那样的时刻。
对，这个十年里，我能想象它提出一个猜想，把人们原以为不相关的两件事联系起来。
哦，有意思，生成猜想，一个美丽的猜想。
对，而且真正有机会正确、有意义。
因为这个大概做得到，只是数据的……
对。
不，那真的会很了不起。
现有模型还很吃力。类似地，物理学家梦想用 AI 发现新定律，喂给它所有数据，就发现以前没看到的新规律。但实际上，哪怕最先进模型，连从数据里重新发现旧定律也困难。即便做到了，也很担心训练污染：只是因为训练里某处已经知道玻意耳定律，或者你想重建的其他定律。
部分原因，是没有合适训练数据。物理定律方面，没有一百万个宇宙、各有一百万种自然定律。数学里，缺少的是“负空间”：我们有发表出来的证明、最后被验证的猜想、反例，却没有那些曾提出、也值得试，但人们很快发现不对，然后说：“哦，应该这样修改，才更可信”的过程数据。
试错是人类数学发现不可或缺的一部分，却不记录，因为尴尬。我们犯错，只喜欢发表胜利。AI 就没这些数据来训练。我有时开玩笑，AI 基本上也得读研究生，去上课、做作业、去答疑，犯错、接受纠错建议，再从中学习。
我想问问格里戈里·佩雷尔曼。你说过，工作中会小心，不让一个问题完全吞没自己，不要爱上问题到不解出来就无法休息。但你也马上补充，这种做法有时很成功，例子就是佩雷尔曼，独自工作七年、几乎不与外界接触，证明了庞加莱猜想。能解释这个唯一已解决的千禧年大奖难题，也谈谈佩雷尔曼走过的旅程吗？
好，这是关于弯曲空间的问题。地球是个好例子，把地球看成二维表面。一般来说，也可以是有一个洞的环面，或者有很多洞，表面先验上有许多不同拓扑，即使假设它有界、光滑等。我们已经基本弄清怎样分类曲面，所有东西由所谓亏格决定，也就是有几个洞。球面亏格0，甜甜圈亏格1，等等。区分曲面的一种方式，是球面具有所谓单连通性：在球面上拿任意闭合环，比如一大圈绳子，都能在不离开表面的情况下缩到一点。球面有这个性质，环面没有。若绳子绕着环面的某个外周，无法穿过洞，就没法缩成一点。
结果，除了球面的连续变形，也就是与球面拓扑等价的东西之外，球面是唯一具有这种闭环可缩性的曲面。庞加莱在更高维提出同样问题。这就难想象，因为二维曲面可以放在三维中，但弯曲三维空间，我们缺少对容纳它的四维空间的直觉。还有一些三维空间，甚至放不进四维，需要五维、六维或更高。但数学上仍能提问：一个有界三维空间，也具有每个闭环都能缩小的单连通性，能否变成三维版的球面？这就是庞加莱猜想。
奇怪的是，更高维，比如四维、五维，反而更容易，所以先在高维解决了。似乎有更多空间进行变形，更容易把东西移成球面。但三维真的很难。人们试过很多方法：组合方法，把表面切成小三角形、四面体，根据面的相互关系论证；代数方法，附加基本群等代数对象，还有同调、上同调，各种高级工具，也都不完全奏效。但理查德·哈密顿提出了偏微分方程方法。
问题是，你有一个本质上是球面的对象，却以古怪方式给出。想象一个被揉皱、扭曲的球，看不出它是球。如果有一个变形球面，比如气球表面，就可以试着充气，随着空气填入，褶皱自然抚平，变成漂亮圆球。当然，除非原来是环面之类，那就会在某个地方卡住。
给环面充气，内环会在某一点缩到零，形成奇点，无法再继续充、继续流动。他建立了如今叫里奇流的过程，让任意表面或空间不断平滑，变得越来越圆，像球面。他希望证明，这个过程要么给出球面，要么形成奇点，很像偏微分方程：要么全局正则，要么有限时间爆破。基本上几乎同一回事，全都相连。他证明，二维曲面若开始时单连通，就不会形成奇点，不会遇到麻烦，可以一直流，最后得到球面。因此，得到二维结论的新证明。
顺便说，这样解释里奇流在此的应用，非常漂亮。二维情形的数学有多难？
对，是很精深的方程，与爱因斯坦方程相当，略简单，但仍被认为是很难的非线性方程，二维有很多特殊技巧能帮忙。三维的问题是，方程实际超临界，和［02:09:48处听不清］一样。尺度放大观察时，曲率可能集中到越来越小区域，非线性越来越强，情况越来越坏，会出现各种奇点。比如颈缩，曲面像杠铃，在一点夹断。有些奇点足够简单，能看出下一步怎么做：剪一刀，一个曲面变两个，分别继续演化。但也可能出现极糟糕、打结的奇点，根本不知道怎样消解，无法作手术。因此，需要分类所有奇点：事情到底可能以哪些方式出错？佩雷尔曼首先把问题从超临界转成临界。之前说过，能量、哈密顿量的引入让牛顿力学清楚了。他引入如今叫佩雷尔曼约化体积、佩雷尔曼熵的新量，有点像能量，在每个尺度上看起来一样，把问题转成临界，非线性突然没那么可怕。但仍要分析这个临界问题的奇点，这本身就类似我研究的波映射问题，难度在那个级别。
他成功分类所有这些奇点，说明每种怎样作手术，由此解决庞加莱猜想。所以，有很多极有雄心的步骤，绝不是如今大语言模型能做的。最多能想象模型把这个点子列为一百个尝试之一，其余99个全是死路。但得工作几个月才知道。他一定有某种感觉，知道这是值得走的方向，从A到B需要多年。
所以，像你说的，严格从数学上，或者更广地从过程上，你也做过类似……
从过程上，你做过同样困难的事情。他独自工作，你能推测他经历的过程吗？那种过程有哪些低谷？你提过，AI 不知道自己失败。你坐在办公室，发现过去几天、几周的工作失败时，会怎样？
我会换另一个问题。我是狐狸，不是刺猬。
所以，一般而言，你能休息一下，退开，看看另一个问题？
对，也能修改问题。如果有某个具体障碍，某个坏情况不断出现，工具无法处理，就可以直接假设这个坏情况不会发生。做点魔法思考，但有策略，目的是看剩余论证是否能走通。如果路线有多个问题，也许就放弃；如果只有这一个、其他都成立，仍值得努力。有时，也要做前方侦察。
假设“好，最终总能弄明白”，有时也有效？
哦，对，有时犯错甚至有益。有个项目，我与另外四人还因此得过奖。我们研究一个很难的偏微分方程问题，同样是爆破、正则性类型。另一位菲尔兹奖数学家 Jean Bourgiugnon［姓名据原文］做过特例，却没解决一般情况。我们研究两个月，以为解出来了，有个巧妙论证，一切合拍，非常兴奋，计划聚会喝香槟庆祝，开始写论文。结果，一位合作者，不是我，说：“这里的引理，要估计展开式里13个项。
“我们估计了12项，但笔记里找不到第13项，谁能补？”我说：“好，我看。”结果，我们完全漏掉了这一项，而它比另外12项加起来还糟，事实上估计不了。我们又试几个月，换各种组合，总有这一项控制不住，非常沮丧。但已投入了几个月，我们坚持，尝试越来越绝望、越来越疯狂的方法。两年后，终于找到一个与最初策略颇不同的办法，不产生那些问题项，真正解决了。
所以，两年后解出来了。但如果没有最初那次“几乎解出”的虚假曙光，我们可能第二个月就放弃，去做更容易的问题。如果早知道要两年，不确定还会不会开始。有时，错误确实……有点像哥伦布去新大陆，当时地球大小的测量不对。他以为会找到去印度的新贸易路线，至少是这样向资助者宣传。也可能他心里其实知道，不过……
从心理层面，那种时候，会不会被情绪、自我怀疑淹没？数学如此令人沉浸，把那么多自我投入问题，最后却错了，感觉可能击垮你。像国际象棋曾击垮一些人。
对，不同数学家的情感投入不同。有些人把它当工作，一个问题做不成就下一个。总能换问题，会减少情感联结。但也有某些问题被称为“数学疾病”，有人抓住一个问题，多年只想这一件，职业可能受影响，却说：“只要解出来，巨大胜利就能补偿所有失去的机会。”偶尔有效，但若没有相应毅力，我真不推荐。
所以，我从没对单一问题极度投入。有一点帮助是，不必提前宣布要解哪些问题。申请经费时，会说研究这组问题，但不保证五年内给出所有证明。承诺的是取得进展，或发现有趣现象。也许没解原题，却找到相关问题，能说点新东西，这可行得多。
但我相信，你也有这种问题。你对数学史上最难问题取得那么多进展，有没有哪个一直缠着你，躲在黑暗角落？孪生素数、黎曼猜想、哥德巴赫猜想？
孪生素数，听起来……不过，黎曼猜想之类，实在太遥不可及。
你这么想？
对，连可行策略都没有。即使打开这本秘籍里所有我知道的作弊码，也无法从A到B。我想，需要另一个数学领域先有突破，再有人认出，它能被迁移到这个问题上。
也许先退一步，聊聊素数。
好。
它们常被称为数学的原子。能谈谈这些原子提供什么结构吗？
自然数有两个基本运算，加法与乘法。生成自然数有两种方式：从1开始，不断加1，得到1、2、3、4、5。所以，加法上非常容易。或者，从乘法角度，取所有素数，2、3、5、7，把它们相乘组合，就能得到除1之外的全部自然数。因此，有加法、乘法两种不同看法。单独看都不算难。任何只涉及加法的自然数问题，都相对容易解决。
任何只涉及乘法的问题，也相对容易。但令人沮丧的是，把两者结合，突然就有极其丰富的……我们知道，数论里有些命题实际上不可判定。某些多元多项式，在自然数中有没有解，答案取决于一个不可判定命题，比如数学公理是否一致。即使最简单的问题，把素数这种乘法性的东西，与平移2这种加法性的东西结合，单独都理解得很好，可一问，素数加2后，能否、又多经常得到另一个素数，就极难把两者联系起来。
应该说明，孪生素数猜想就是：有无穷多对相差2的素数。而有趣的是，你一直很成功地推动这类复杂问题的研究。比如你提到格林–陶定理，证明素数中存在任意长度的等差数列。
对。
能证明这种事，实在难以想象。
对，这类研究让我们意识到，不同规律的顽强程度不同。孪生素数难在，拿全部素数，3、5、7、11等等，里面有孪生，比如11和13。但如果想删改素数，去掉这些孪生，容易做到。它们会出现，我们相信有无穷多，但实际相当稀疏。起初不少，到几百万、几万亿时，越来越少。假如有人能访问素数数据库，只要这里那里删几个。
比如，精心选择、只删0.01%的素数之类，就能让删改后的孪生素数猜想不成立。可以给出一个经过审查的素数数据库，它通过所有这些统计检验，遵守所谓“多项式定理”［原文如此］等素数统计性质，却不再有孪生素数。这是真正障碍：任何要在真实素数中找孪生的证明策略，用到这些略作修改的素数上，都必须失效。因此，必定得利用素数某种微妙、精细的特征，不能只从总体统计分析得到。
好，所以这条路排除了。
对。另一方面，等差数列要稳健得多。实际上，可以删去99%的素数，或者任意取其中90%［原文先后使用两个比例］，我们证明的另一个结果是，仍然会有等差数列。等差数列要顽强得多，像蟑螂。
但还是任意长度？
对，对。
太疯狂了。
对。
不熟悉的人可能不知道，等差数列就是相邻项差为某个固定数的数列。
对。但这又有点像无限猴子现象。集合规模固定有限时，并不会有任意长数列，只能有相当短的。
而你是说，孪生素数不是无限猴子现象。我的意思，它是一只很微妙的猴子，仍然是无限猴子现象。
对，如果素数真的随机、是猴子生成的，那么无限猴子定理确实会……
哦，但孪生素数不能用同样工具，似乎不够随机？
我们不知道。我们相信素数像随机集合。因此，关心孪生素数猜想，是把它当作检验：能否真正以零错误可能性断言，素数表现如随机集合。随机版本的素数，我们知道有孪生，至少概率为100%，或者随着范围扩大，概率趋于100%。所以，我们相信素数随机。等差数列之所以不可摧毁，是因为无论看起来随机，还是像周期那样有结构，都会出现，只是原因不同。这基本涵盖可能情形。此类等差数列定理有许多证明。
它们都通过某种二分：集合要么有结构，要么随机，两种都能得出结果，再合起来。但孪生素数中，如果素数随机，就成功；如果有结构，可能恰好是消除孪生的特殊结构，我们无法排除那一种合谋。
不过，据我理解，你在K元组版本上取得了进展。
对，合谋有个有趣特点：单一阴谋论很难证伪。如果相信世界由蜥蜴人统治，拿证据说不是，［02:24:32处听不清］，又会说那些也是蜥蜴人搞的。你可能见过这种现象。
对。
几乎无法彻底排除阴谋。数学也一样。一个专门消灭孪生素数的合谋，也得渗透其他数学领域，但至少按我们所知，它可能自洽。可有个奇怪现象：一种阴谋可以排除另一种。世界若由蜥蜴人统治，就不能同时由外星人统治，对吧？
对。
所以，一件不合理的事难以证伪，多件却有工具处理。例如，我们知道，有无穷多对素数，相差至多246，这是目前的界。
哦，所以间距有个界……
对。有孪生素数，相差2；有表亲素数，相差4；有性感素数，相差6。
性感素数是什么？
相差6的素数。实际比名字听起来无聊多了。
明白。
可以设一个合谋排除其中一种，但有50种时，就无法同时全部排除。某种意义上，在这个“合谋空间”里，需要的能量太大。
那怎样得到间距的界……
好。
……证明有无穷多对？
最终基于所谓抽屉原理。如果一些鸽子都要进入鸽巢，而鸽子比鸽巢多，就至少有个鸽巢容纳两只。因此，至少有两只靠得近。比如，有100个数，都在1到1000之间，就至少两数相差不超过10，因为可以把1到100［原文如此］分成100个鸽巢。改说101个数吧。101个数，就至少两数相差小于10，因为必须有两个在同一鸽巢。这是数学中一个基本原理。
但对素数，不能直接这样用，因为越往后越稀疏，是素数的数字越来越少。不过，可以给数赋权。有些数是几乎素数，不是除1和自己外完全没因子，而是因子很少。我们对几乎素数，比对素数了解多得多。例如，早已知道有孪生几乎素数，已经研究清楚。所以，几乎素数可理解，可以把注意力限制在合适的几乎素数集合。素数在整体中很稀疏，但相对于几乎素数，就没那么稀疏。
能构造一个几乎素数集合，使素数密度比如达到1%。这样，就有机会用某种抽屉原理，证明有相距仅100的素数对。但要证明孪生素数猜想，需要把其中素数密度推到50%的阈值。到50%，就会得到孪生素数。不幸有障碍：我们知道，无论选多好的几乎素数集合，素数密度都无法超过50%。这叫奇偶障碍，是我很想挑战的。长期梦想之一，就是突破这道屏障，因为不只会打开孪生素数猜想，也会打开哥德巴赫猜想。
还有许多数论问题都被挡住，因为现有技巧要求超越这个理论奇偶屏障，像超越光速。
对，孪生素数猜想是数学史最大问题之一，哥德巴赫也是，感觉像邻居。有没有某天，你觉得看到了路径？
哦，有。有时试一个方法，特别顺，又会用到之前说的数学嗅觉。经验让你知道，事情太顺，反而可疑，因为有些困难必须遇到。某位同事的说法是：你在纽约街头，被蒙眼放进车里，几小时后摘下眼罩，却到了北京。这太容易了，根本没跨海洋。即便不知道具体怎么做，也会怀疑哪里不对。
但它们仍在你脑后吗？会偶尔回到素数，看一看？
对，没更好事情做时，不过越来越少，如今事情太多。但有空，又烦躁得做不了真正研究，不想处理行政事务，也不想替家人跑腿时，会拿这些玩着试试。通常毫无进展，只能说：“好，又没结果，继续别的。”极偶尔，某个问题真的解决。有时像你说的，以为解出了，兴奋大概15分钟，然后想：“得检查，这太容易、好得不真实。”通常确实有问题。
你的直觉是，孪生素数和哥德巴赫什么时候能解决？
孪生素数，我想我们会……
十年？
……继续获得更多局部结果。至少还需要一次……奇偶障碍是最大剩余障碍。有些更简单版本，我们已经非常接近。所以，我想十年内会有许多更接近的结果，不一定完整解决。孪生素数多少算接近。黎曼猜想，我毫无头绪，我想可能得靠意外。
黎曼猜想，是关于素数分布的一种更一般猜想，对吧？
对，它说，从乘法角度看，只涉及乘法、不涉及加法时，素数确实随机得达到最好期待。概率论有个现象叫平方根抵消。例如，就某个议题给美国做民调，只问一两位选民，可能样本差，整体平均估计很不准。样本越多，精度越高，而精度改善与样本人数的平方根相关。抽1000人，可得2%或3%的误差范围。同样，从某种乘法角度测量素数，有一类统计量，叫黎曼ζ函数，它上下波动。
但某种意义上，平均越多、采样越多，波动应像随机情形一样减小。有非常精确的量化方式，黎曼猜想以很优雅的方式捕捉它。但像数学中许多情况，我们几乎没工具证明某个东西真正随机。而且，这不只是略随机，而是要求像真正随机集合一样，达到平方根抵消。实际上，由于与奇偶问题有关的东西，我们知道，多数常用技巧不可能解决它。证明必须来自意料之外。但会是什么，没人有认真可行的提议。有各种解释方式。像之前说的，稍改素数，就能破坏黎曼猜想。
所以，必须非常精细，不能用误差余量巨大的工具，只能刚刚好奏效，必须巧妙躲开所有陷阱。
素数真迷人。
对，对。
你觉得，素数最神秘的是什么？
好问题。从猜想上说，我们有很好的模型。素数确有某些规律，比如通常是奇数。但除了这些明显规律，表现得非常随机。有个克拉梅尔素数随机模型，认为过了某个尺度，素数就像随机集合，也有各种微调版本。模型很好，符合数值结果，告诉我们应该预测什么。我可以满怀确信地说孪生素数猜想为真，随机模型给出的概率压倒性地支持它，只是我无法证明。我们的数学，大多针对有规律的东西优化。
素数却有这种“反规律”，几乎所有东西也如此，但我们无法证明。我觉得，素数随机本身不神秘，因为没有理由藏着秘密规律。神秘的是，到底什么机制，真正强迫随机性发生？我们完全缺这部分。
另一个难度惊人的问题，是考拉兹猜想。
哦，对。
表述简单，画出来也很美，却极难解决。而你取得过进展。保罗·埃尔德什说，数学也许还没准备好处理这类问题。其他人2010年也说，它极其困难，完全超出当时数学的能力。但你仍有进展。为什么这么难？能先解释它是什么吗？
哦，可以，很容易解释，有图更好。取任意自然数，比如13，应用下面过程：偶数就除2，奇数就乘3再加1。因此，偶数变小，奇数变大。13变40，因为13乘3是39，加1是40。对奇偶数分别都很简单，合起来也还算简单。但如果迭代呢？把输出重新输入：13变40，40是偶数，除2得20，再除2得10、5，5乘3加1得16，接着8、4、2、1。到了1，就在1、4、2、1、4、2、1之间永远循环。刚才的13、40、20、10等等，叫冰雹序列，因为有一个过度简化、其实不太正确，却仍作为初步近似教给中学生的冰雹形成模型：云里形成一点冰晶，受风影响上下移动，冷时增加质量，也可能融化一些。上下运动产生部分融化的冰，最终形成冰雹，落到地面。猜想说，无论一开始多高，数是几百万、几十亿，这个奇数上升、偶数下降的过程，最终总会落回地面。
无论从哪里开始，用这个简单算法，最终都到1。可能先爬升一阵……
对。
……但会下来。
对，把序列画出来，像布朗运动、像股市，以似乎随机的方式上下波动。通常确实如此：输入随机数，至少在起初，可以证明它像随机游走，而且带向下漂移。就像赌场轮盘，胜率稍对你不利，有时赢有时输，但长期输得比赢得多。所以，一直玩下去，通常钱包最终归零。
所以，从统计上，到这里很合理？
对，我证明的结果，粗略说是，统计上比如99%的输入，会向下漂移，不一定到1，但会降到比起点小得多。就像告诉你，去赌场，只要一直玩足够久，大多数时候钱包最后会比开始少。大致是这样的结果。
那为什么不能沿着这条路，证明完整猜想？
问题是，我用了概率论论证，总会有例外事件。大数定律告诉你，玩期望亏损的赌场游戏，长期看，几乎必然、以任意接近100%的概率，会输钱。但仍存在异常个体。数学上，即使胜率不利，也可能一直赢得略多于输。很像纳维–斯托克斯：多数时候波会分散，却可能有唯一特殊初始条件导致爆破。也可能有一个特殊数字，其他全落地、到1，它却一路冲向无穷。
有数学家，比如亚历克斯·孔托罗维奇，提出这些考拉兹迭代像元胞自动机。用二进制看，确实有点像生命游戏图案。类比生命游戏能创造巨大自复制对象，也许能造某种重于空气的飞行器：一个数字编码了这台机器，它的工作是创造更大的版本。
一个编码在数字中的重于空气飞行器……
对。
……永远飞下去。
事实上，康威也研究过这个问题。
哦，哇。
康威的研究也是纳维–斯托克斯项目的灵感之一。他研究考拉兹的推广：不是乘3加1或除2，而是更复杂的分支清单，不是两种情况，也许17种，然后上下。他证明，迭代足够复杂，就能编码图灵机，让这些问题不可判定，做到这类事情。他还为分数式变换发明了编程语言，叫 FRACTRAN，名字戏仿 FORTRAN。它是图灵完备的，可以编一个程序，输入数字若编码成素数，就下降到零。
它会向下，否则向上，诸如此类。所以，这一整类问题，真的和全部数学一样复杂。
我们谈过元胞自动机的神秘，也许需要能对它们作出判断的数学框架。对，哥德巴赫猜想。
对，如果不只是统计，而是想让100%的输入都落地。统计上99%到1，也许能做到，但全部都如此，看起来很难。
这些看起来够得着的著名问题中，哪个最难？黎曼猜想吗？
它肯定在前列。P等于NP也很好，因为是元问题。如果正面解决，找到P=NP算法，可能连带解决许多其他问题。
也该说，现在已有很多成果建立在我们谈的这些猜想上，有连锁影响。而P=NP的影响，基本比其他……
对，如果黎曼猜想被证伪，数论家会受到巨大思想冲击。也会影响密码学，因为许多密码学用数论、素数构造，依赖数论家多年建立的直觉：哪些素数运算表现随机，哪些不随机。加密方法尤其是，把明文信息变成与随机噪声无法区分的密文，因此我们相信，至少数学上几乎不可破解。但如果黎曼猜想这样核心的信念错了，就说明素数有我们没意识到的真实规律。
§03访谈文稿 3
有一个，可能就还有更多，许多密码系统突然都会受到质疑。
对，那你怎么对素数说点东西……
对。
……又回到考拉兹，因为你希望它随机，对吧？
是。
你希望它随机？
对，更广地说，我只是在寻找更多工具，更多证明东西随机的方法。怎样证明一个合谋不会发生？
你觉得，P=NP有可能吗？能想象一个这样的宇宙吗？
有可能。有不同情景。例如，技术上成立，却事实上永远无法实施。证据稍微偏向否定，大概P不等于NP。
似乎和黎曼猜想类似，证据很偏向“不等”。
肯定更偏否定，而非肯定。P=NP有趣在于，我们还掌握比几乎其他问题更多的障碍结果。不仅有证据，也有许多结果排除大量研究路径。计算机科学很擅长说明某些方法行不通，也就是不可能性定理。也可能不可判定，我们不知道。
我读过一个有趣故事。你拿菲尔兹奖后，网上有人问，获得如此重大荣誉后准备做什么？你很快、很谦逊地回答，一块闪亮金属不会解决手头问题，所以继续研究。首先，那个情境下你还回邮件，让我觉得有趣；其次，也体现谦逊。不过，也许可以谈谈菲尔兹奖，这也是再问佩雷尔曼的方式。你怎么看他拒绝菲尔兹奖与100万美元千禧年奖？他说：“我对金钱或名声不感兴趣。奖项对我完全无关。如果证明正确，就不需要其他认可。”
对，即使数学家往往理想主义，他也相当特殊。我从没见过他，有兴趣将来见，但没机会。我认识见过他的人。他对某些事一直很有主见。也并非始终完全隔绝数学界，他会演讲、写论文，只是在某个时候决定不再……
……演讲、写论文之类，在某个时候决定不与其他社群互动。他也许失望了，我不知道。他决定退出，在圣彼得堡采蘑菇之类，这也没问题。你可以这样。另一面是，我们解的一些问题有实际应用，很好；但如果停止想一个问题，他后来没在这个领域再发表，也没关系。很多人都做过同样选择。
我起初没意识到，菲尔兹奖某种程度让你成为体制的一部分。多数职业数学家，只专注下一篇论文，也许升一级、开几个项目、带些学生。突然，人们想听你对各种事的意见，而你得仔细想一想。以前知道没人听，可能随口说傻话，现在就更重要。
这对你有束缚吗？还能玩，叛逆，试疯狂想法吗？
空闲时间比以前少得多，多数是自己选择的。我总说，可以拒绝，所以也拒绝很多，还能拒绝更多。或者让大家觉得我太不可靠，干脆不再问。
我喜欢这些不同算法，太棒了。
那总是选项。但有些事情，像博士后时一次只钻一个问题、随意玩，我现在没那么多时间，还会稍微做一点。职业越往后，越需要软技能。数学似乎把技术技能都前置到早期。博士后要么发表、要么出局，会被激励去证明很技术性的定理，既证明定理，也证明自己。资历越深，就要指导学生、接受访谈、影响领域研究方向，有时还有行政事务。这也是合理的社会契约，因为得先在一线干过，才知道什么能帮助数学家。
成为权威的另一面，非常积极，就是能像一束光，激励很多年轻数学家，或只是对数学感兴趣的年轻人。这是……
对，对。
……人脑的运作方式。这一点，我会说自己喜欢菲尔兹奖，因为不知怎么，它确实激励很多年轻人。同时，也尊重佩雷尔曼这种批评奖项的人。那是他的原则，而一个人能为原则，做多数人做不到的事，看到这种坚持很美。
有些认可必要、重要。但也不能让这些接管生活，只关心下个大奖。有人只想解特别大的数学难题，不做没那么“性感”、却仍然有趣、有启发的东西。像你说的，人脑在事物联系到人时更容易理解，尤其只联系到少数人。我们能理解十到二十个人之间的关系，但超过比如100人，就有个限度，我想还有个名字，超过以后，人就成了“他者”。
因此，你必须简化［02:49:21处听不清］，99.9%人类都成了他者。这些模型常常不对，带来许多问题。所以，为让一个学科人性化，挑少数代表人物、榜样，确有作用，但过多也有害。我首先就会说，我的职业路径不典型：教育极度加速，跳过很多年级，幸运地得到指导机会，也处在正确时间、正确地点。别人没有我的轨迹，不代表不能成为好数学家。他们会以很不同的风格成长，而我们需要不同风格的人。
有时，人们太关注完成最后一步的人，但数学或其他领域的项目，其实已持续几十年、几百年，建立在大量前人工作之上。非专家很难讲清这个故事，直接说“一个人做了这件事”，历史就简单多了。
我总体认为，这非常积极。比如用史蒂夫·乔布斯代表苹果，尽管我个人知道，大家也都知道，背后有出色的设计、工程团队，还有团队里每个具体的人。不是抽象的团队，而是一个个人，里面有很多才华。但那是好用的简称，像π，乔布斯，π。
对，作为起点、第一近似，可以这样……
然后读传记，再深入研究，而不只停在第一近似。
对。
对。你提到在普林斯顿，那时安德鲁·怀尔斯……
哦，对。
……也是教授。历史互相交织很有意思。那时他宣布证明费马大定理。尤其现在有更多背景，回看数学史那个时刻，你怎么看？
当时我还是研究生，隐约记得有媒体关注。我们在同一个邮件室，都有自己的信箱。突然，怀尔斯的信箱爆满，溢出来。
这是个好指标。
对，大家喝茶时都在讨论。但我们多数人并不理解证明，只懂高层次细节。实际上，现在有个项目在用 Lean 形式化它，凯文·巴扎德正在……
我们稍微岔开说一下？难度有多大？据我理解，费马大定理证明涉及超级复杂的对象。
对。
现在形式化非常难。
对，你说得对。用到的对象可以定义，而且已经在 Lean 中定义了。定义它们本身并不平凡，但已完成。不过，这些对象许多非常基本的事实，是不同论文用几十年才证明的，其中很多也得形式化。凯文·巴扎德有五年资助，目标是形式化费马大定理。他觉得自己无法一路做到最基本公理，但希望做到，只依赖那些1980年前、当时数论家已知的结果作为黑盒。再由别人或后续工作，从那里继续向下完成。
这与我熟悉的数学不同。我做分析，研究对象更接近地面：素数、函数之类，至少定义仍在高中数学能触及的范围。但数论的高级代数一侧，长期在结构上叠结构，形成稳固高塔。底层发展得很好，有教科书等。但到了某个程度，如果没多年学习，却想问高塔第六层发生什么，就得花很多时间，才能看到一点认得的东西。
他的旅程和我们说过的类似，基本秘密研究七年。什么让你受启发？
这符合大家对数学家的浪漫想象，仿佛都是古怪巫师。他肯定强化了那种印象。是伟大成就，解题风格与我非常不同，很好，我们需要这样的人。
能谈谈吗？你更喜欢合作……
一个问题太难时，我喜欢换一个。
明白。
但也需要坚韧、无畏的人。我合作过这种人：第一种方法失败，第二种失败，我想放弃，可他们确信可行，再试第三、第四，直到第五种成功。我就得收回自己的话：“好，我以为不行，你从头就是对的。”
应该告诉听众，你不只以杰出研究闻名，还极高产，论文数量多，质量又高。所以，能在主题间切换，也有价值。
对，对我有效。但也有人很高产，却深钻一个领域。每人得找自己的工作方式。可惜数学教学有点一刀切，有固定课程。参加竞赛，可能获得稍不同体验。但很多人到很晚、常常太晚，才发现自己的数学母语。他们就不再做数学，可能遇到只教一种、自己不喜欢的方法的老师，留下糟糕体验。
我的理论是，进化没有直接给人脑一个数学中心。我们有视觉、语言等中心，进化把它们打磨得很好，却没有天生的数学感。但其他中心够复杂，可以改作数学用途。有些人学会用视觉中心，所以思考非常图像化；有些改用语言中心，思考非常符号化；有些好竞争、爱玩游戏，脑中有擅长解谜、游戏的部分，也能改作数学。
与其他数学家交谈时，能感觉他们用不同思维风格，不完全分离，但也许偏视觉。我自己没那么偏视觉，反而需要很多视觉辅助。数学提供共同语言，所以，哪怕思考不同，也能彼此交流。
但能看出，思考过程使用的子系统不同？
对，走不同路径。我觉得难的，他们很快，反过来也一样，却仍到同个目标。
很美。
但教育方式，除非有私人导师，否则经济规模要求批量教学，要教30个孩子。若有30种风格，无法教30种方法。
那你给那些数学学得吃力、却有兴趣、想进步的年轻学生什么建议？在这种复杂教育情境下，你会怎么说？
确实棘手。好的一面是，现在课堂外有很多数学拓展来源。我那时有竞赛、图书馆科普数学书，如今有 YouTube、专门解数学谜题的论坛。数学也出现于其他地方，比如扑克爱好者，因为具体原因，关心特定概率问题。扑克、象棋、棒球里，都有业余概率研究社群。数学无处不在。我也希望，Lean 等新工具能让更广公众参与数学研究，现在几乎没有。
自然科学有公民科学空间，比如业余天文爱好者发现彗星，生物爱好者辨认蝴蝶。数学里，也有少数活动，比如业余数学家发现新素数。但以前，每个贡献都要核实，多数研究项目接受公众输入不会有帮助，反而耗时，要检查错误。而形式化项目正在带来更多人。我相信，已有中学生参与形式化、贡献 Mathlib。做一件原子级小事，不需要博士。
形式化也首先向程序员社群开放。那些已经习惯编程的人，可能觉得编程比数学更容易进入。数学，尤其现代数学，被视为极难入门，编程却不是。所以，这也许是入口。
代码能运行、能得到结果，很快就能打印“世界，你好”。如果编程几乎只教理论，函数、子程序等计算机科学，除了特定作业，周末也不真的为兴趣写程序，它会被认为与数学同样难。像我说的，有些非数学家社群，用数学达成很具体的目的，比如优化扑克策略，数学对他们就好玩了。
一般而言，你会给年轻人什么建议，怎样选职业、找到自己擅长什么？
这是个非常、非常难的问题。如今世界有很多不确定。战后有段时期，至少西方，如果出身处境有利，会有很稳定的好职业路线：上大学、受教育、选一个职业，一直做。那越来越成过去。因此，得适应、灵活，学习可迁移技能。只学一种编程语言、某个数学专题，本身不算特别可迁移；但能用抽象概念推理，事情出错时能解决问题，这些即使工具更强、与 AI 辅助共事，仍会需要。
你就是很有意思的案例，作为最伟大的在世数学家之一，已有自己的做法，却又开始学新东西。不只不断学新领域，还学 Lean，这并不简单。很多人，很多数学家，迈这一步会非常不舒服。
对。
很多数学家。
首先，我一直对做数学的新方式感兴趣。如今许多方法低效。很多同事花大量时间做常规计算，或者做别的数学家一眼会、我们却不知道的事情。怎样搜索、快速得到回答等。所以，我始终有兴趣探索新工作流。
四五年前，我在一个委员会，征集数学研究所值得办的工作坊点子。当时，彼得·舒尔茨刚形式化自己的一个新定理，计算机辅助证明还有其他有趣进展。我说：“应该办个这方面工作坊，是好主意。”结果我太热情，被“自愿指定”去负责了。我和凯文·巴扎德、乔丹·埃伦伯格等一批人一起做，很成功。聚集数学家、计算机科学家和其他人，了解最新水平。有许多多数数学家不知道的有趣进展、漂亮概念验证，隐约显示未来。这是在 ChatGPT 之前，但已经有一场讲语言模型与未来潜力。
这让我兴奋。组织完会议，我开始演讲，说更多人应该关注。后来 ChatGPT 出现，AI 突然无处不在，我也被频繁采访，尤其关于 AI 与［03:04:33处听不清］的互动。我说：“对，应该结合，这里有完美协同。”后来意识到，不能只说，必须做。我不研究机器学习，也不研究证明形式化，不能一直依靠权威，说“我是数学家，相信我，它会改变数学”，自己却完全不做。因此，觉得必须真正证明自己的说法。
很多投入的东西，我事先并不知道会花多少时间。往往到项目已经没过腰部，才意识到，但那时已承诺，得继续。
愿意走进现场，某种程度重新做初学者，面对新手挑战，真的很令人敬佩。
对。
新概念、新思路，也包括别人会、自己却不擅长。你在演讲说过，可能是菲尔兹奖得主，本科生却比你懂某件事。
对，数学本身就如此。如今数学太庞大，没人懂全部现代数学。我们不可避免会犯错，无法靠虚张声势掩盖，因为别人会要证明，没有就是没有。
我爱数学。
对，它让人诚实。不是完美灵药，但我觉得，我们确有更多承认错误的文化，因为总被迫这样做。
又一个宏大、荒唐的问题，抱歉：谁是有史以来最伟大的数学家？也许选已不在世的，有哪些候选？欧拉、高斯、牛顿、拉马努金、希尔伯特？
首先，像之前提过，有时间依赖。
取决于哪天。
对，如果随时间累计来看，欧几里得是主要候选之一，还有他之前某些不知名数学家，比如最初提出数这个概念的人。
今天数学家还直接感受到希尔伯特的影响吗？
哦，当然。
20世纪发生的一切，都有他的直接影响？
对，希尔伯特空间等，当然有很多以他命名。数学的组织方式、某些概念的引入，以及23个问题，都极有影响。
公开宣布哪些问题难，提出未解问题，好像有奇怪的力量。
对，到处都有旁观者效应。如果没人说该做X，大家就徘徊等别人做，什么都没完成。教本科数学有一点，就是应该总试点东西。学生看一道题，若认出某技巧能用，就试；但标准技巧明显都不适用时，常见反应就是僵住：“不知道干什么。”《辛普森一家》好像有句话：“我什么都没试，却已想不出办法。”下一步就是随便试，哪怕愚蠢，甚至越蠢越好，技术上几乎注定失败，但失败方式有启发：因为完全没考虑这个假设，才失败。哦，原来这个假设有用，这是线索。
你还提过一个很有意思、我记住并在用、确实有效的方法，好像叫结构化拖延。
对。
就是不想做一件事时，想象另一件更不想做、更糟的事。于是，通过不做更糟的那件，反而去做原来那件。是个好技巧，真有效。
对，心理很重要。问马拉松运动员最重要是什么，训练计划、饮食等等？很大部分是心理，设法骗自己相信问题可行，才有动力去做。
有没有什么东西，是人类头脑永远无法理解的？
嗯，作为数学家，［03:09:23处听不清］。一定存在某个大数，你无法理解。这是我最先想到的。
那更广一点，即使有数学帮助，我们的头脑仍会受某些限制吗？
好，你愿意允许多少增强？比如，连纸笔都没有，没有任何技术，不许黑板、纸笔……
就已经比现在受限得多。
……极其受限。甚至语言，英语也是技术，只是高度内化了。
所以你说得对，问题表述有误，因为已经不存在完全孤立的人。我们早被极其复杂、精细的方式增强了，对吧？
对，对。
所以，像集体智能？
对，人类作为群体，在状态好的时候，原则上比个体加起来聪明得多，也可能更差。但数学社群整体，是一个极其超级智能的实体，任何单个数学家都远远无法复制。在问答网站上能看到一点，比如 MathOverflow，数学版 Stack Overflow。社群有时很快回答极难问题。作为专家，看着很享受。
我是那个网站的围观粉丝，看不同人的才华、深度、知识，以及愿意认真对待某个问题的严谨与细微处，真的很酷，几乎就是一种娱乐。人类文明这整件事，什么让你有希望？
年轻一代总很有创造力、热情、发明精神，和年轻学生工作很愉快。科学进步告诉我们，过去极难的问题可以变得轻而易举。比如导航，知道自己在地球哪里，曾是可怕难题，有人因此丧命、损失财富。如今口袋设备自动完成，完全解决。所以，如今看似不可行的事，以后也许只是作业练习。
对，生命有限让我很难过的一点，是看不到文明创造的所有酷东西。未来100年、200年，想想200年后突然出现，会怎样。
对，但已经发生很多。如果能回去和少年时的自己交谈，互联网，以及现在的 AI，都很惊人。如今又开始内化，觉得AI当然能懂声音，对任何问题给出合理、稍微不正确的回答。但就连两年前，这都还让人震撼。
而此刻，在网上看那些争论，也很有趣。人们很快把一切当理所当然，然后似乎靠戏剧冲突娱乐：任何新东西，都得有人持一种观点，另一人持反观点，互相吵。但看长线，哪怕只看机器人进步，退一步说：“哇，人类竟能创造这个，真美。”
当基础设施与文化健康，人类社群可以比其中个体更聪明、更成熟、更理性。
我总能指望一个地方有理性，就是你的博客评论区，我是大粉丝，那里有很多聪明人。也谢谢你把这些想法写在博客。我无法形容，你今天花时间陪我，对我是多大荣幸。期待很久了。特里，我非常喜欢你的工作。你激励我，也激励几百万人。非常感谢你的时间。
谢谢，很愉快。
感谢收听这次与陶哲轩的对话。如果想支持播客，请看看简介中的赞助商，或访问 lexfridman.com/sponsors。最后，用伽利略·伽利莱的话作结：“数学是上帝书写宇宙所用的语言。”
谢谢收听，希望下次再见。