Terence Tao: 陶哲轩:开普勒、牛顿,以及数学发现的真正本质

“以及这些故事告诉我们,AI 将如何彻底改变数学”

本期节目一开始,我们先讲开普勒发现行星运动定律的过程,这个过程极其巧妙,也出人意料。

人们有时会说,由于验证回路紧密,AI 在科学发现方面会取得尤其迅速的进展。

但我们发现太阳系形状的这段历史表明,正确想法的验证回路可能长达数十年(甚至数千年)。

在这段时间里,我们今天所认为的更好的理论,往往反而会做出更差的预测(哥白尼提出的行星绕太阳作圆周运动的模型,实际上比托勒密的地心模型更不准确)。

而这样的理论之所以能在这种认识论的炼狱中存活下来,靠的是某种判断力与启发式的混合,我们对它的理解甚至还不足以清楚地表述出来,更谈不上把它编码进强化学习(RL)回路。

希望你喜欢本期节目!

00:00今天我要和陶哲轩聊聊,他不需要多做介绍。哲轩,我想先请你重新讲一遍开普勒是如何发现行星运动定律的,因为我觉得这会是一个很好的切入点,引出我们关于 AI 与数学的讨论。

我一直对天文学抱有业余爱好。我很喜欢早期天文学家如何弄清宇宙本质的那些故事。开普勒是在哥白尼的工作基础上进行研究的,而哥白尼本人又建立在阿里斯塔克斯的工作之上。哥白尼最著名的贡献是提出了日心模型:不是行星和太阳围绕地球转,而是太阳位于太阳系的中心,其他行星围绕太阳运行。

哥白尼提出行星的轨道是完美的圆。他的理论符合希腊人、阿拉伯人和印度人历经数个世纪得出的观测结果。开普勒在学习中了解到这些理论,并注意到,哥白尼所预测的各轨道大小之比,似乎带有某种几何意义。

他开始提出这样的设想:如果取地球的轨道,把它封闭在一个立方体里,那么包围这个立方体的外接球几乎恰好与火星的轨道吻合,依此类推。当时已知的行星有六颗,它们之间有五道间隙,而恰好有五种完美的柏拉图立体:立方体、四面体、二十面体、八面体和十二面体。

于是他提出了这个他认为绝对优美的理论:可以把这些柏拉图立体嵌入各行星所在的球面之间。这看起来是吻合的,在他看来,上帝对行星的设计,正与柏拉图立体的这种数学上的完美相契合。

他需要数据来证实这个理论。当时,世界上真正高质量的数据集只有一份。第谷·布拉赫是一位非常富有、行事古怪的丹麦天文学家,他设法说服丹麦政府出资建造了一座极其昂贵的天文台。实际上,那是整整一座岛。他在那里用肉眼对所有行星(如火星和木星)进行了长达数十年的观测,只要天气晴朗,几乎每晚都不间断。他是最后一位肉眼天文学家。

他拥有所有这些数据,开普勒可以用来证实自己的理论。开普勒开始与第谷共事,但第谷对这些数据非常吝啬,一次只给他一点点。开普勒最后干脆把数据偷了出来。他把数据抄了下来,还不得不与布拉赫的后人打了一场官司。

他确实拿到了数据,随后发现,令他失望的是,他那个优美的理论并不完全成立。数据与他的柏拉图立体理论相差大约 10%。他尝试了各种修补,把圆挪来挪去,但还是对不上。不过他在这个问题上研究了许多年,最终想出了如何利用这些数据推算出行星的真实轨道。

那是一项极其巧妙、堪称天才的数据分析。接着他发现轨道其实是椭圆而不是圆,这让他感到震惊。于是他总结出了行星运动的两条定律:轨道是椭圆,以及在相等的时间内扫过相等的面积。

十年之后,在收集了大量数据之后(最远的行星,如土星和木星,对他来说是最难推算的),他终于得出了第三定律:行星完成一圈轨道所需的时间,与它到太阳距离的某个幂次成正比。这就是著名的开普勒三大运动定律。他对这些定律没有任何解释。一切都是由实验驱动的,直到一个世纪之后,牛顿才给出了一个能同时解释这三条定律的理论。

我想向你抛出的观点是:开普勒就是一个高温度的大语言模型。牛顿给出了行星运动三大定律必然成立的解释。当然,正如你所说,开普勒发现行星运动定律、或者说弄清各行星相对轨道的方式,是天才之作。但纵观他的整个职业生涯,他不过是在尝试各种随机的关系。

事实上,他写下行星运动第三定律的那本书,这一定律只是《世界的和谐》中的一个旁支内容,而那本书讲的是所有这些不同的行星如何拥有各自不同的和声。书里还说,地球上之所以有这么多饥荒和苦难,是因为地球对应的是 mi-fa-mi,那是地球的音符。这全是随意的占星式内容,但其中就包含了立方-平方定律,它告诉你行星公转周期与它到太阳距离之间的关系。正如你刚才所述,如果把它与牛顿的 F=ma 以及向心加速度的公式结合起来,就能得到平方反比定律。牛顿就是这样推出来的。

但我觉得这个故事有意思的原因在于:只要存在像布拉赫数据集这样可供验证的数据库,大语言模型就能做这类事情,也就是花二十年去尝试各种随机关系,其中有些毫无道理。“好,我要试试关于音符、柏拉图立体或各种不同几何的随机组合,我有一种偏见,觉得这些轨道的几何里藏着某种重要的东西。”

然后其中有一个奏效了。只要你能够验证,这些经验规律就能推动真正深刻的科学进步。

传统上,当我们谈论科学史时,提出想法一直是科学中最有声望的部分。一个科学问题包含许多步骤。你得先找出一个问题,然后找出一个值得研究且富有成果的好问题。接着你需要收集数据,想出分析数据的策略,并提出假设。这时你需要提出一个好的假设,然后加以验证。再之后你需要把成果写出来并解释清楚。总共有十几个不同的环节。

我们所推崇的,是那些灵光乍现、天才迸发的想法诞生时刻。开普勒当然必须反复尝试许多想法,其中好几个都行不通。我敢说,有很多想法他根本没有发表,因为它们就是对不上。这是整个过程中重要的一环:尝试各种随机的东西,看看它们是否行得通。

但正如你所说,它必须有同等数量的验证与之匹配,否则就是垃圾。我们赞美开普勒,但也应该赞美布拉赫,因为他孜孜不倦地收集数据,其精度比以往任何观测都高出十倍。多出来的那一位小数的精度,对开普勒得出结果至关重要。他当时使用的是欧几里得几何,以及他能用到的最先进的数学,来让自己的模型与数据相匹配。所有方面都必须发挥作用:数据、理论和假设的提出。

我不确定如今提出假设是否还是瓶颈。在那之后的一个世纪里,科学已经发生了变化。传统上,科学的两大范式是理论和实验。到了 20 世纪,出现了数值模拟,于是可以用计算机模拟来检验理论。最后,在 20 世纪后期,我们有了大数据,进入了数据分析的时代。

如今,许多新的进展实际上是先通过分析海量数据集推动的。你先收集大型数据集,再从中提炼出模式,推导出想法。这与过去科学的运作方式略有不同:过去是你先做几次观察,或者突然冒出一个想法,然后收集数据来检验你的想法。那是经典的科学方法。现在几乎反过来了。你先收集大数据,然后设法从中得出假设。

开普勒也许是最早的数据科学家之一,但即便是他,也不是从第谷的数据集出发、再去分析它的。他一开始已有一些先入为主的理论。看起来,我们取得进展的方式越来越不是这样了,就是因为如今的数据要庞大、有用得多。

哦,有意思。我觉得你所描述的 20 世纪科学,其实非常贴切地描述了开普勒的经历。他确实有过那些想法,1595 年和 1596 年他提出了多边形,然后是柏拉图立体理论,但它们是错的。几年之后,他拿到了布拉赫的数据,而且是在尝试了二十年的随机事物之后,他才得到这条经验规律。

这实际上更接近于:布拉赫的数据类似于一个庞大的模拟数据库,有了这些数据,你就可以不断尝试各种随机的东西。如果没有这些数据,开普勒大概只会一直写关于和声与柏拉图立体的书,而没有任何东西可以用来实际验证。

数据极其重要。我想做出的区分是:传统上,你先提出假设,再用数据去检验。但现在有了机器学习、数据分析和统计学,你可以从数据出发,通过统计推算出此前并不存在的定律。

开普勒第三定律有点像这样,只不过他拿到的不是布拉赫那样的上千个数据点,而是六个数据点。对每颗行星,他知道其轨道的长度和它到太阳的距离。大约有五六个数据点,而他做的就是我们现在所说的回归。他对这六个数据点拟合了一条曲线,得到了平方-立方定律,这很了不起。但他相当幸运,这六个数据点恰好给出了正确的结论。这样的数据量并不足以保证真正可靠。

后来有一位天文学家约翰·波得,他用的是同样的数据,也就是各行星的距离,并受开普勒的启发,提出了一个预测:各行星的距离构成一个平移后的几何级数。他同样拟合了一条曲线,只不过其中缺了一个点。火星和木星之间有一个很大的空档。他的定律预测那里有一颗缺失的行星。这在当时有点像是怪人的理论,直到赫歇尔发现了天王星,天王星的距离恰好符合这一规律。随后谷神星在小行星带中被发现,它也符合这一规律。人们都非常兴奋,认为波得发现了一条了不起的新自然规律。

但随后海王星被发现了,它的距离完全对不上。基本上,这只是一个数值上的巧合。数据点只有六个。也许开普勒不像强调前两条定律那样强调第三定律,原因之一就在于,尽管他没有现代统计学,但凭直觉他多少知道,只有六个数据点,对结论就必须持几分保留态度。

11:44我想把这个类比问得更明确一些:如果未来我们有越来越聪明的 AI,会有数百万个这样的 AI,它们可以出去搜寻所有这些经验上的不规则现象,那么这个类比还成立吗?听起来你并不认为科学的瓶颈在于,为每个领域找出更多相当于行星运动第三定律的东西,以便之后有人说:“哦,我们需要一种方式来解释这个。我们来推导一下数学。这就是万有引力的平方反比定律。”

我认为 AI 已经把产生想法的成本降到了几乎为零,这与互联网把通信成本降到几乎为零的方式非常相似。这是一件了不起的事情,但它本身并不会创造富足。现在的瓶颈不同了。我们现在所处的局面是,人们突然可以针对一个给定的科学问题提出成千上万种理论。现在我们必须对它们加以验证和评估。要真正解决这个问题,我们必须改变科学的架构。

传统上,我们会筑起围墙。在有 AI 垃圾内容之前,就有业余科学家提出自己的宇宙理论,其中许多价值很小。我们建立了同行评审的发表体系,用来过滤并筛选出值得检验的高信号想法。

但现在我们可以大规模地生成这些可能的解释,其中有些很好,很多则很糟糕,人类审稿人已经应接不暇。许多期刊都反映,AI 生成的投稿正在涌入,淹没了他们的来稿。

现在我们可以用 AI 生成各种各样的东西,这很好,但这意味着科学的其他环节必须跟上:验证、确认,以及评估哪些想法真正推动了学科前进,哪些是死胡同或干扰项。如何大规模做到这一点,我们还不知道。对于每一篇论文,我们可以让科学家们展开辩论,并在几年内达成共识。但当我们每天要生成上千篇这样的论文时,这个办法就行不通了。

这是一个极其有趣的问题。如果你有数十亿个 AI 科学家,不仅要问如何判断哪些是真正的进展,还要问你如何……这其实是人类科学曾经不得不面对并且已经以某种方式解决了的问题,而我其实不确定我们是怎么解决的。

比方说在 20 世纪 40 年代,你在贝尔实验室,有一批新技术正在问世。脉冲编码调制,也就是如何传输信号、如何把信号数字化、如何通过模拟线路传输它们。有大量论文讨论工程上的约束和细节,然后有一篇提出了比特这个概念,它对许多不同的领域都有影响。你需要有某种系统能够看到这一点,然后说:“好,我们需要把这个用到概率论上,需要把这个用到计算机科学上”,等等。

将来,AI 会提出这类统一性概念的下一个版本。在数以百万计的论文中,这些论文可能确实都算得上进步,但具有普遍统一性的想法要少得多,你要如何把它识别出来?

很大程度上要靠时间的检验。许多伟大的想法在刚提出时其实并没有得到很好的反响。直到后来其他一些科学家意识到可以把它推进得更远,并应用到他们自己的……深度学习本身在很长一段时间里都是 AI 中的一个小众领域。完全通过在数据上训练来获得答案,而不是通过第一性原理推理,这个想法曾经极具争议,而且过了很长时间才开始结出果实。

你提到了比特。除了如今通用的 0 和 1 之外,计算机体系结构还有过其他方案。我记得有三进制位(trit),也就是三值逻辑。在另一个平行宇宙里,也许会出现另一种不同的范式。比如 Transformer 是所有现代大语言模型的基础,它是第一个复杂到足以捕捉语言的深度学习架构。但事情并不一定非得如此。也许会有其他某种架构率先做到这一点,而一旦它被采用,就会成为标准。

很难评估某个想法是否会有成果,原因之一是这取决于未来。它还取决于文化和社会,哪些被采纳,哪些没有。数学中的十进制数字系统极其有用,比如远比罗马数字系统好。但同样,十并没有什么特别之处。它对我们有用,是因为其他人都在用。我们已经把它标准化了。我们围绕它建立了所有的计算机和数的表示系统,所以现在被它绑定了。偶尔有人会提倡十进制以外的其他系统,但惯性实在太大了。

你不能把任何一项科学成就孤立地看待,在不了解过去和未来背景的情况下就给它打一个客观的分数。所以这也许永远不是那种可以像处理更局部的问题那样直接用强化学习来学会的东西。

在科学史上,往往当一个事后看来是正确的新理论出现时,它所带来的推论要么因为是错的而显得毫无道理(我们后来才明白它们为什么是错的),要么是正确的,但在当时看起来极不可信。

正如你谈到的,阿里斯塔克斯在公元前三世纪就提出了日心说。古雅典人则说:“这不可能,因为如果地球绕着太阳转,那么我们应该会看到恒星的相对位置随着我们绕太阳运行而变化;而唯一不出现这种情况的可能,就是它们离得太远,以至于你注意不到任何视差。”这其实正是正确的推论。

但也有些时候,推论是不正确的,我们只是需要升级到更好的理解层次。莱布尼茨曾指责牛顿,并不同意牛顿的引力理论,理由是它意味着超距作用,而他们不知道其机制;牛顿本人也对惯性质量和引力质量竟是同一个量感到有些震惊。所有这些后来都由爱因斯坦解决了。但它仍然是进步。

所以,对于一个面向 AI 的同行评审系统来说,问题就是:即使你能证伪一个理论,你要如何注意到它相对于之前的理论仍然构成进步?

最终正确的理论,在最初往往在许多方面更差。哥白尼的行星理论不如托勒密的理论准确。到那时,地心说已经发展了一千年,人们对它做了许多调整,并加入了越来越复杂的特设性修补,使它越来越准确。哥白尼的理论简单得多,但准确度差了很多。直到开普勒,才使它比托勒密的理论更准确。

科学总是在不断完善的过程中。当你只得到了解的一部分时,它看起来会比一个不正确、却在某种程度上已被补全到几乎能回答所有问题的理论更差。正如你所说,牛顿的理论有很大的谜团。比如质量的等价性和超距作用,这些直到几个世纪之后,才借助一种在概念上截然不同的方法得到解决。

进步往往不是靠增加更多的理论,而是靠删掉你心中的某些假设。地心说之所以能持续那么久,一个原因是我们有这样一种观念:物体天然倾向于保持静止。这是亚里士多德式的物理学观念,所以地球在运动这个想法……我们为什么没有都摔倒呢?而一旦有了牛顿运动定律,即运动的物体保持运动,等等,这就说得通了。

在概念上,意识到地球在运动是一个非常大的飞跃。它感觉起来并不像在运动。最大的进步,比如达尔文的进化论,其核心是物种并非一成不变的观念。这并不显而易见,因为你在一生中看不到进化。当然,现在我们其实可以看到了,但它看起来仍然是永恒不变的。

现在我们正在经历一场认知版的哥白尼革命:过去我们认为人类智能是宇宙的中心,而现在我们看到,外面存在着截然不同类型的智能,它们有着截然不同的长处和短处。我们对哪些任务需要智能、哪些不需要的评估,必须大幅重新排序。

我们试图把 AI 放进我们关于科学进步以及什么难什么易的理论中,为此相当挣扎。我们必须提出以前从未真正需要提出的问题。又或许哲学家们提过,但现在我们所有人都得面对它了。

这引出了一个我一直非常好奇的话题。你提到了达尔文的进化论。有一本书叫《发条宇宙》(The Clockwork Universe),作者是爱德华·多尔尼克(Edward Dolnick),书中涵盖了我们正在谈论的这一历史时期。他在里面有一个有趣的观察。《物种起源》出版于 1859 年。《自然哲学的数学原理》出版于 1687 年。

所以《物种起源》比《原理》晚了两个世纪问世。从概念上看,达尔文的理论似乎更简单。与达尔文同时代的生物学家托马斯·赫胥黎读了《物种起源》之后说:“没有想到这一点,真是愚蠢。”

从来没有人对《原理》说过这样的话,责备自己没有抢在牛顿之前发现万有引力。那么问题就是,为什么它花了更长的时间?

似乎很大一部分原因就是你刚才所说的。从某种意义上说,自然选择的证据是压倒性的,但它是累积性的、回顾性的;而牛顿则可以直接说:“这是我的方程。让我看看月球的轨道周期和它的距离,如果吻合,那我们就取得了进展。”

卢克莱修其实在公元前一世纪就有过物种适应其环境的想法,但直到达尔文之前几乎没有人谈论过它,因为卢克莱修无法做某个实验来迫使人们关注。我在想,回过头来看,我们是否最终会在那些有着这种紧密数据回路、可以相当容易地加以验证的领域中看到多得多的进展,即便它们在概念上要困难得多。

我认为科学的一个方面在于,它不仅是创造一个新理论并加以验证,还要把它传达给其他人。达尔文是一位出色的科学传播者。他用英语写作,用的是自然语言。我说话就像一个——

没有 Lean。

我得跳出我的技术思维。他用朴素的英语说话,不使用方程,并且综合了大量零散的事实。进化论的一些小片段过去已经被人研究出来了,但他有着非常有说服力的整体构想。当然,他也仍然缺少一些东西。他不知道遗传的机制,他没有 DNA。但他的写作风格很有说服力,这帮了很大的忙。

牛顿用拉丁文写作。为了解释自己在做的事情,他发明了全新的数学领域。他还身处一个科学家们更加保密、更加好胜的时代。学术界现在仍然有竞争,但在牛顿的时代更为严重。他把自己的一些最佳见解藏了起来,因为他不想让对手占到任何便宜。据我所知,他也是一个不太讨人喜欢的人。直到牛顿之后几十年,其他科学家用简单得多的方式解释了他的工作,这些工作才得以广泛传播。

阐述的艺术、陈述论据以及构建叙事,同样是科学中非常重要的部分。如果你有数据,这会有帮助,但人们需要被说服,否则他们不会进一步推进,也不会付出最初的投入去学习你的理论并真正深入探索。这是另一件很难用强化学习来学会的事情。你如何给自己的说服力打分?嗯,有整个整个的营销部门都在尝试做这件事。也许 AI 还没有被优化得有说服力,反倒是件好事。

科学有其社会性的一面。尽管我们以科学有客观的一面为傲,也就是有数据、实验和验证,但我们仍然必须讲故事并说服我们的科学家同行。那是一种软性的、模糊的东西。它是数据与描绘叙事的结合,而且是一个关于空白与缺口的叙事。

即使是达尔文,正如我所说,他的理论中也有他无法解释的部分。但他仍然能够论证,将来人们会找到过渡形态,会找到遗传的机制,而后来他们确实找到了。我不知道你如何能把这一点量化到足够精确的程度,以便开始做强化学习。也许这将永远是科学中属于人类的那一面。

26:10我读了、也看了你关于宇宙距离阶梯的内容,有一点体会……顺便说一句,我强烈推荐大家去看你和 3Blue1Brown 合作的宇宙距离阶梯系列。其中一个体会是,许多领域里的演绎潜力可能比人们意识到的要大得多。只要你对如何研究一个问题有了正确的洞见,你可能会惊讶于自己对这个世界还能多了解那么多。

我在想,你认为这是否是你所研究的历史上那些特定时期的天文学的产物?还是说,仅凭目前射到地球上的数据,我们其实就能推断出远比我们碰巧已知的多得多的东西?

天文学是最早真正拥抱数据分析、并把手头信息中每一滴可能的信息都榨出来的科学之一,因为数据是瓶颈。现在仍然是瓶颈。收集天文数据真的很难。

天文学家擅长从微小的数据痕迹中提取各种结论,堪称世界一流,几乎像夏洛克一样。我听说,对于许多量化对冲基金来说,他们最偏爱雇用的其实是天文学博士。他们出于其他原因,也对从各种零散的数据中提取信号很感兴趣。

我们确实对如何从各种信号中提取额外信息探索不足。随便举一个研究的例子,我记得读到过,有人想衡量科学家们到底有多经常真正阅读自己所引用的论文。你怎么衡量这个?你可以尝试对不同的科学家做调查,但他们用了一个巧妙的办法。

许多引文里有一些小错误,比如某个数字是错的,或者标点几乎是错的。他们衡量了一个错误从一条参考文献被复制到下一条的频率,由此可以推断作者是否只是在复制粘贴一条参考文献而没有真正去核对。通过这个,他们能够推断出人们投入了多少注意力的某种度量。所以有一些巧妙的办法可以提取……

你之前提出的这些问题,也就是我们如何评估一项科学进展是否有成果、是否有趣、或者是否代表真正的进步……也许在数据中存在着这种现象的真正有用的度量或足迹。我们可以考察引用,以及某个东西在会议上被提及的频率。也许有大量科学社会学的研究可以去做,它们实际上可以检测出这些东西。也许我们真应该请一些天文学家来处理这件事。

30:31这很自然地把我们带到了从外部看 AI 在数学领域所取得的进展。你最近发过一篇帖子,指出在过去几个月里,AI 程序已经解决了一千一百多个埃尔德什问题中的五十个。我不知道现在是否仍然如此,但截至一个月前,你说过已经出现了停滞,因为那些容易摘的果实已经被摘完了。

首先,我想知道现在是否仍然是这种情况,也就是我们已经摘走了容易摘的果实,目前处于这样一个平台期。

看起来确实如此。已经有五十多个问题在 AI 的协助下得到解决,这很好,但还剩大约六百个。目前仍有人在一个一个地啃其中的一两个。

现在我们看到纯粹由 AI 一次性解决问题的情况少多了。曾经有一个月出现过这种情况,但后来就停了,并不是因为没有人尝试。我知道有三个独立的尝试,让前沿模型 AI 同时攻击每一个问题。它们挑出一些细枝末节的观察,或者发现某个问题其实已经在文献中被解决了,但至今还没有进一步出现纯粹由 AI 驱动的解答。

目前人们大量使用 AI。有人可能用 AI 生成一个可能的证明策略,然后另一个人用另一款 AI 工具来批评它、重写它、为它生成一些数值数据,或者做一次文献综述。有些问题是通过许多人类与许多 AI 工具之间持续不断的对话解决的。但看起来那确实是一次性的事情。

也许对这些问题的一个类比是:你身处某种山脉之中,到处都是各式各样的悬崖和峭壁。也许有一堵三英尺高的小墙,有一堵六英尺高的,还有十五英尺高的,然后还有一些一英里高的悬崖。你想尽可能多地攀上这些悬崖,但周围一片漆黑。我们不知道哪些高、哪些矮。所以我们试着点起一些蜡烛、画一些地图,慢慢弄清楚其中有些是可以攀爬的。对其中一些,我们可以辨认出墙上一条局部的路径,可以先到达那里。

这些 AI 工具就像跳跃机器,能在空中跳起两米,比任何人类都高。有时它们跳错了方向,有时会摔下来,但有时它们能够到我们以前够不着的最矮的那些墙的顶端。我们只是把它们放进这片山脉里,让它们到处蹦跳。曾经有一段令人兴奋的时期,它们确实能找到所有较矮的墙并爬上去。也许下一次模型出现大的进步时,它们会再试一遍,又有几堵墙会被攻破。

但这是一种不同风格的数学研究。通常我们会一步步爬坡,设下小小的标记,并试图识别出局部的成果。这些工具要么成功,要么失败。它们在创造局部进展,或者识别出应该优先关注的中间阶段方面表现得很糟糕。回到前面的讨论,我们没有办法像评估解决一个问题的一次性成败那样,去评估局部进展。

对你刚才所说的,有两种不同的思考方式。一种对 AI 的进展更悲观,另一种更乐观。悲观的一种是:“哦,它们只能爬到某个高度的墙,没有人类能达到的那么高。”

第二种是,它们有一个强大的特性:一旦它们达到了某个水位线,就可以把处于该水位线上的每一个问题都填满,而这是我们用人类根本做不到的。我们不能复制出一百万个你,给他们每人一百万美元的推理算力,让你们同时在一百万个不同的问题上做一百年主观时间的研究。

但一旦 AI 达到陶哲轩的水平,它们就可以做到。一旦它们达到中等水平,就可以做到那件事的中等水平版本。我们现在应该悲观的理由,恰恰也是我们应该格外乐观的理由。不需要等到它们达到超人智能,只要达到人类水平的智能就行,因为它们的人类水平智能在性质上比我们的人类水平智能更宽广、更强大。

我同意。它们擅长广度,而人类擅长深度,至少人类专家是这样。我认为两者非常互补。但我们目前做数学和科学的方式侧重于深度,因为人类的专业知识就在那里,因为人类做不到广度。我们必须重新设计做科学的方式,以便充分利用我们现在拥有的这种广度能力。

我们应该投入更多的精力去创建非常宽泛的问题类别来研究,而不是只盯着一两个真正深刻而重要的问题。深刻而重要的问题我们仍然应该有,人类也仍然应该研究它们。但现在我们有了另一种做科学的方式。我们可以探索全新的科学领域:先让这些广博、能力中等的 AI 把它测绘出来,做完所有容易的观察。然后再识别出若干难点的孤岛,让人类专家来研究这些部分。

我所看到的是一个高度互补的科学未来。最终,你会希望同时获得广度和深度,在某种程度上两全其美。但我们需要在广度这一侧多加练习。它太新了。我们甚至还没有能够真正充分利用它的范式。但我们会有的,而在那之后,科学将变得面目全非,我是这么认为的。

关于互补性这一点,程序员们已经注意到,由于这些 AI 工具,他们的生产力大幅提高。我不知道你作为数学家是否有同感,但感觉上,凭感觉编程(vibe coding)和凭感觉做研究(vibe researching)的一大区别在于:对于软件来说,全部意义在于通过你的工作对世界产生某种影响。如果它能让你更好地理解一个问题,或者想出一个干净的抽象来体现在代码中,那都是服务于最终目标的手段。

而对于研究来说,我们之所以在意解决千禧年大奖难题,大概是因为在解决它们的过程中,我们会发现新的数学对象或新的技术,从而推进我们文明对数学的理解。所以证明本身是服务于这些中间工作的手段。我不知道你是否同意这种二分法,或者它是否能在某种程度上解释我们将在软件与研究之间看到的相对提升。

在数学中,过程往往比问题本身更重要。问题在某种程度上只是衡量进展的代理。我认为即便在软件领域,也有不同类型的软件任务。如果你只是做一个网页,做的事情和另外一千个网页一样,那就没有什么技能可学。嗯,也许个别程序员还是能学到一些技能。但对于样板式的代码,你肯定应该交给 AI 来做。

有时候,代码写出来之后,你还得去维护它。升级它、让它与其他东西兼容,都会有各种问题。我听程序员们说,即使 AI 能做出一个工具的第一版原型,要让它与其他一切融合在一起,并按他们想要的方式与现实世界交互,仍是一个持续的过程。如果你没有从编写代码中获得的那些技能,那可能会影响你日后维护它的能力。

所以是的,对数学家来说,我们一直利用问题来培养直觉,并训练人们对什么是真的、该期待什么、什么是可证明的、什么是困难的有一个好的判断。直接拿到答案,实际上可能会抑制这一过程。

我之前区分过理论与实验。在大多数科学中,理论一侧与实验一侧是平分秋色的。数学的独特之处在于它几乎完全是理论性的。我们十分看重对事物为何为真、为何为假给出连贯而清晰的理论。对于如果有两种不同的方法来解决一个问题,哪一种更有效,我们并没有做过多少实验。我们有一些直觉,但我们没有做过大规模的研究,比如拿一千个问题来逐一测试。

但我们现在可以做到了。我认为 AI 类工具实际上将彻底改变数学的实验一侧:你不再那么在意单个问题及其求解过程,而是想收集关于哪些做法行得通、哪些行不通的大规模数据。就像如果你是一家软件公司,想推出一千个软件,你并不真的想手工打造每一个并从每一个中吸取经验。你只想找到哪些工作流程能让你扩大规模。

大规模地做数学这个想法尚处于起步阶段。但 AI 将真正彻底改变这门学科的地方,正在于此。

我觉得在这些关于 AI 对科学会有多大帮助的讨论中,一个关键点是,我想你说过,它们是在使用现有技术并加以修改。了解仅仅通过使用现有技术能取得多大进展,会很有意思。

如果我去看顶级数学期刊,有多少论文是提出了一种新技术(不管这意味着什么),又有多少是把现有技术用在新问题上?潜在的空间有多大?如果你把每一种已知技术都应用到每一个未解问题上,那是否会构成我们文明知识的巨大飞跃,还是说不会那么令人印象深刻、也没那么有用?

这是个很好的问题,我们目前还没有足够的数据来完整回答它。可以肯定的是,人类数学家所做的很多工作……当你拿到一个新问题时,我们首先做的事情之一,就是查看过去在类似问题上行之有效的所有标准手段,并逐一尝试。有时这行得通,而这仍然值得发表,因为这个问题本身很重要。

有时它们几乎行得通,你得再加上一点小变化,这同样有意思。但进入顶级期刊的论文通常是这样的:现有方法大致可以解决问题的 80%,但还有 20% 是顽固不化的,必须发明一种新技术来填补空白。

如今,一个问题完全不依赖过往文献、所有想法都凭空冒出来就被解决,是非常罕见的。过去这种情况更常见,但如今数学已经非常成熟,不先利用文献简直是莫大的劣势。

AI 工具在这第一部分上正变得非常出色,也就是把所有标准技术在一个问题上试一遍,在应用它们时常常比人类犯的错误更少。它们仍然会犯错,但我在一些我自己能做的小任务上测试过这些工具,有时它们能发现我犯的错误。有时我也能发现它们犯的错误。目前大致不分高下。

但我还没有见到它们迈出下一步。当论证中出现漏洞、所有手段都不奏效时,该怎么办?它们可以提出一些随机的建议,但我常常发现,追着这些建议去想办法让它们行得通、结果发现行不通,浪费的时间比节省的还多。

我认为,我们目前认为困难的问题中,有一部分会被这种方法攻克,尤其是那些没有得到足够关注的问题。就埃尔德什问题而言,被 AI 解决的 50 个问题中,几乎所有的基本上都没有相关文献。埃尔德什提出过一两次这个问题。也许有些人随意地尝试过但没做出来,而且从未写下任何东西。

但事实证明存在一个解法,它只是把某种鲜为人知的冷门技术与文献中的某个其他结果结合起来。这就是 AI 能完成的工作的中位水平,这真的很了不起。它清除了其中 50 个问题。所以我认为你会看到一些孤立的成功。

但我们发现……有些人对这些埃尔德什问题做了大规模的扫描。如果你只关注那些成功案例,也就是在社交媒体上被广泛传播的那些,看起来令人惊叹。所有这些几十年没被解决的问题,现在纷纷被攻克。但每当我们做系统性的研究时,就任何一个给定的问题而言,一个 AI 工具的成功率大概只有 1% 或 2%。只是它们可以靠规模取胜,然后你只挑选胜出者。这样看起来就很棒。

我认为,对于外面那几百个真正有声望的、困难的数学问题,也会发生类似的事情。某个 AI 可能会走运并真的解决它们,会有某条别人都错过的后门来解决问题。那会引起很多关注。但随后人们会在自己最喜欢的问题上试用这些花哨的工具,他们又会遇到 1% 到 2% 的成功率。

在它们何时有效、何时无效这件事上,信号中会夹杂大量噪声。收集这些真正标准化的数据集将变得越来越重要。目前已经有人在努力建立一套标准的挑战问题集供 AI 求解,而不是只依赖 AI 公司只发布它们的胜绩、不披露它们的负面结果。这也许能让我们更清楚地了解自己究竟处于什么位置。

不过我认为值得强调的是,能有模型能够应用某种从来没有人写下过可用于这个特定问题的技术,这本身就已经代表了 AI 的多大进步。

这种进步既令人惊叹,又令人失望。看到这些工具的实际运作,是一种非常奇怪的感觉。但人们也适应得非常快。

我记得 20 年前谷歌网页搜索刚出来的时候。它一下子把其他所有搜索都甩在了后面。你在首页就能得到相关的结果,正是你想要的。那太惊人了,而几年之后,你就把“什么都可以谷歌”视作理所当然了。

2026 年水平的 AI 放在 2021 年会令人震惊。其中很多内容,比如人脸识别、自然语音、解决大学水平的数学题,我们现在都视作理所当然了。

46:43说到 2026 年的 AI,你在 2023 年曾预测,到 2026 年它会像数学领域的一位同事?

如果使用得当,会是一位值得信赖的合作者。

回过头来看,这看起来相当不错。

是的,我挺满意的。

那我们来看看你能不能把这个连胜延续下去。你个人因 AI 的缘故生产力提高了两倍。你说这会是哪一年?

我认为,生产力并不完全是一个一维的量。我确实注意到,我做数学的风格正在发生相当大的变化,我所做的事情类型也在变。比如,我现在的论文里有多得多的代码和图片,因为现在生成这些东西太容易了。有些图以前要花我几个小时,现在几分钟就能做出来。但在过去,我根本不会把这张图放进论文里,而只会用文字来讨论它。所以很难衡量“两倍”到底意味着什么。

一方面,我认为如果让我不借助 AI 来写今天这类论文,所花的时间肯定会是五倍之多。但我是不会那样写论文的。

五倍?

是的,不过这些都是辅助性的任务,比如做更深入得多的文献检索,或者提供多得多的数值结果。它们丰富了论文。我所做的核心工作,也就是真正解决一个数学问题中最困难的部分,并没有太大变化。这部分我仍然用纸和笔。

但还有很多琐碎的事情。我现在用 AI 智能体来调整格式。有时候,如果我所有括号的大小不太合适,我以前得手动一个个去改,现在可以让 AI 智能体在后台把这些都处理得很好。

它们确实大大加快了许多次要任务。它们还没有加快我所做的核心工作,但让我能够在论文里加入更多内容。同样地,如果让我重新写一篇我在 2020 年写过的论文,不加入这些额外的功能,只要同等水平的功能,说实话其实并没有节省多少时间。它让论文变得更丰富、更广泛,但不一定更深入。

你曾区分过人工的聪明(artificial cleverness)和人工智能(artificial intelligence)。我想更好地理解这两个概念。什么是智能而不仅仅是聪明的一个例子?

智能是出了名地难以定义。它属于那种你一看就知道的东西。但当我和某人交谈、一起合作解决一个数学问题时,会有这样一种对话:起初我们两个都不知道如何解决这个问题。我们其中一个有了某个想法,看起来有希望,于是我们有了某种原型策略。我们检验它,发现行不通,但随后我们对它加以修改。想法随着时间不断适应和持续改进。最终,我们系统地绘出了什么行不通、什么行得通,并看到了前进的道路,但这条路是随着我们的讨论而演化的。

这并不完全是 AI 所做的事情。AI 可以稍微模仿一下这个过程。回到那个跳跃机器人的类比,它们可以跳了失败,再跳再失败。但它们做不到的是:稍微跳一下,抓住某个落脚点,留在那里,把其他人拉上来,然后再从那里起跳。并不存在这种以交互方式累积建立起来的过程。它似乎更多是试错和单纯的重复:暴力求解。这种方式可以扩展规模,在某些情境下效果惊人。但这种从局部进展出发、逐步累积的思路,正是目前仍然欠缺的。

有意思。你的意思是,如果 Gemini 3 或 Claude 4.5 之类的模型解决了一个问题,并不意味着它自己对数学的理解有所进步。

没有。

甚至如果它研究了一个问题却没有解决,也不意味着它自己对数学的理解有所进步。

是的。你开启一个新会话,它就忘了刚刚做过的事。它没有新的技能可以用于相关问题。也许你刚才做的事情占下一代训练数据的 0.001%。所以也许最终其中一部分会被吸收。

53:00我有一个很大的疑问:如果我们继续训练 AI,让它们越来越擅长在 Lean 中解决问题,它们将继续解决越来越惊人的问题,然后我们会惊讶地发现,从某个证明黎曼猜想之类的 Lean 解法中,我们获得的洞见竟如此之少,这种情况有多大的可能性?

或者你认为,哪怕是由完全在 Lean 中工作的 AI 来解决黎曼猜想,Lean 程序里所创建的构造和定义必然会推进我们对数学的理解,这是必要条件吗?还是说,它也可能只是一堆汇编代码般的天书?

我们不知道。有些问题基本上是靠纯粹的暴力求解解决的。四色定理就是一个著名的例子。我们至今还没有找到这个定理在概念上优雅的证明,也许永远也找不到。有些问题或许只能通过拆分成数量庞大的情形,并对每种情形进行暴力的、缺乏洞见的计算机分析来解决。

我们之所以看重黎曼猜想这样的问题,部分原因在于我们相当确信,要让它得到解决,必须创造一种新的数学,或者发现此前互不相关的两个数学领域之间存在新的联系。我们甚至不知道解法会是什么样子,但这感觉不像是一个靠穷举检查各种情形就能解决的问题。

或者它实际上也可能是错的。好吧,存在一种不太可能的情形:该猜想是错的,你可以直接算出一个不在临界线上的零点,然后一次大规模的计算机计算就验证了它。那将非常令人失望。我确实认为,完全自主的一次性方法并不是解决这些问题的正确途径。让人类与这些工具协作、相互作用,你会得到多得多的收获。

我可以想象这类问题之一被聪明的人类借助极其强大的 AI 工具解决。但具体的动态可能与我们现在所设想的非常不同。它可能是一种目前尚不存在的协作类型。

也许有办法生成一百万个黎曼 zeta 函数的变体,并借助 AI 辅助的数据分析,发现把它们联系起来的某种我们以前不知道的规律。这能让你把问题转化到数学的另一个领域。可能会有各种各样的情形。

假设 AI 想明白了,而 Lean 里潜藏着某种全新的构造,如果我们认识到它的意义,就能把它应用到所有这些不同的情形中。我们究竟要怎样才能认出它?

这又是一个非常幼稚的问题,但如果你想出了相当于笛卡尔那个想法的东西,也就是可以用坐标系把代数和几何统一起来,在 Lean 代码里,它看起来只会是 R→R,看上去并没有那么重要。我敢肯定还有其他构造也具有这种性质。

在 Lean 这样的系统中把证明形式化的美妙之处在于,你可以取出其中任何一部分,单独地加以研究。当我读一篇解决某个难题的论文时,里面往往有一长串引理和定理。理想情况下,作者会一路讲解什么重要、什么不重要。但有时他们不会透露哪些步骤是重要的,哪些只是样板式的标准步骤。

你可以孤立地研究每一个引理。其中有些我一看就觉得相当标准,和我熟悉的东西很像。我很确定那里面没有什么有趣的东西。但另外某个引理,是我以前没见过的,我也能看出,有了这个结果会如何大大帮助证明主要结果。你可以评估某一步对你的论证是否真正关键,而 Lean 极大地便利了这一点。每一个单独的步骤都被非常精确地识别出来。

我认为将来会出现一整个数学家的职业群体,他们可能会拿一个由 Lean 生成的巨大证明,对其做消融,尝试去掉其中的部分,寻找更优雅的方式。他们可能会让其他 AI 做一些强化学习来让证明更优雅,也许还有别的 AI 来评判这个证明看起来是否更好。

在不久的将来会有相当大变化的一件事,是我们撰写论文的方式。直到最近,写论文还是工作中最耗时、成本最高的部分。所以你很少这么做。只有当论证的其他所有部分都核对过之后,你才会把结果写出来,因为重写和重构实在太痛苦了。有了现代 AI 工具,这变得容易多了。你的论文不必只有一个版本。一旦有了一个版本,别人就可以生成上百个其他版本。

一个庞大而杂乱的 Lean 证明本身也许不太有意义,也不太好理解,但其他人可以对它进行重构,并用它做各种各样的事情。我们在埃尔德什问题网站上已经见到了这一点。某个 AI 会生成一个证明,附上验证该证明的 3,000 行代码。然后人们让其他 AI 去总结这个证明,人们也写出自己的证明。

这其实是后处理。一旦你有了一个证明,我们现在有许多工具可以对它进行解构和解读。这是数学中一个非常新兴的领域,但我对此并不那么担心。有些人担心,如果黎曼猜想被一个完全无法理解的证明所证明,那会怎样。我认为,一旦你有了证明这一产物,我们就可以对它做大量分析。

59:20你最近发帖说,如果能有一种用于数学策略、而不只是数学证明的形式化或半形式化语言就好了,而 Lean 专门处理的是后者。我很想进一步了解这会涉及什么,或者会是什么样子。

我们其实并不清楚。我们在数学上非常幸运,已经弄清了逻辑和数学的规律,但这是相当近期的成就。两千年前欧几里得开了头,但直到 20 世纪初,我们才最终列出数学的公理,也就是我们称之为 ZFC 的标准公理、一阶逻辑的公理,以及什么是证明。这些我们已经能够实现自动化,并有了一门形式语言。

也许有某种方式可以评估合理性。你有一个猜想,认为某件事是真的,你检验了几个例子,结果成立。这在多大程度上提高了你对该猜想为真的信心?我们有几种数学方式来对此建模,比如贝叶斯概率。但你往往必须设定某些基本假设,在这类任务中仍然有很多主观性。

开发这类语言,与其说是计划,不如说是愿望。但看到像 Lean 这样的形式化框架到位之后,演绎证明的自动化和 AI 训练变得容易了多少……用 AI 来创建策略和提出猜想的瓶颈在于,我们必须依赖人类专家和时间的检验,来验证某件事是否合理。

如果有某种半形式化的框架,能够以一种不易被钻空子的方式半自动地做到这一点……对于这些形式化证明助手来说,非常重要的是不存在任何后门或漏洞,让你不用真正证明就能以某种方式拿到认证过的证明,因为强化学习太擅长发现这些后门了。

如果有某种框架,以半形式化的方式模仿科学家们彼此交谈的方式,既使用数据和论证,也构建叙事……科学中有某些主观的方面,我们不知道如何把它们捕捉下来,以便以任何有用的方式把 AI 插入其中。这是一个未来的问题。目前有一些研究工作在尝试创建自动化的猜想,也许有办法对它们进行基准测试并模拟这一过程,但这一切都是非常新的科学。

你能帮我建立一些直觉吗?我有两个小问题。第一,如果能有一个具体的例子,说明这类东西会是什么样子,也就是科学家们交流的那种我们还无法形式化的方式,那会很有帮助。

第二,说你正在构建某种叙事或自然语言的解释,同时又拥有某种可以被形式化的东西,这在定义上就近乎自相矛盾。我相信这两者重叠之处背后有某种直觉,我很想更好地理解它。

举一个猜想的例子:高斯对素数感兴趣,并创建了最早的数学数据集之一。他算出了前十万个左右的素数,希望从中找到规律。他确实发现了一个规律,但也许不是他所期待的那个规律。他在素数中发现了一个统计规律:如果你数一数到 100、1,000、一百万等等为止各有多少个素数,它们会越来越稀疏,而密度的下降与数的范围的自然对数成反比。

于是他猜想了我们现在所称的素数定理:不超过 X 的素数个数是 X 除以 X 的自然对数。他没有办法证明这一点。这是由数据驱动的。这是一个猜想。它在当时具有革命性,因为它也许是数学中第一个真正重要的、本质上属于统计性质的猜想。通常你谈论的是某种模式,比如素数之间的间隔也许有某种规律性。但这个猜想并没有告诉你在任何给定范围内究竟有多少个素数。它只是给出了一个近似,随着范围越来越大,这个近似越来越好。

它开创了我们称之为解析数论的领域。这是此类猜想中的第一个,其中许多后来得到了证明,它们开始巩固这样一种观念:素数并没有真正的规律,它们的行为就像具有某种密度的随机数集。它们确有一些规律,比如几乎全是奇数。它们实际上也不是真正随机的,而是所谓的伪随机。创造素数并不涉及任何随机数的生成。但随着时间推移,把素数看作仿佛是由某位神灵不停掷骰子、生成了这个随机集合,变得越来越富有成效。

这使我们能够做出所有这些其他预测。数论中有一个至今未解决的猜想,叫做孪生素数猜想,认为应当存在无穷多对相差仅为 2 的素数,也就是孪生素数,比如 11 和 13。我们无法证明这一点,而且我们之所以无法证明,有充分的理由。但由于有这个素数的统计随机模型,我们绝对确信它是真的。我们知道,如果素数是通过抛硬币产生的,那么仅凭随机的机缘(就像无限只猴子敲打打字机),孪生素数就会一次又一次地出现。

随着时间推移,我们基于统计和概率,形成了关于素数应当具有何种行为的这个非常准确的概念模型。它大体上是启发式的、不严格的,但极其准确。在我们少数几次真正能够证明素数的某些性质时,结果都与我们所说的素数随机模型的预测相吻合。我们有这样一个关于素数的猜想性概念框架,每个人都相信它。这也是我们相信黎曼猜想为真的同一个原因,也是我们相信基于素数的密码学在数学上是安全的原因。这一切都是这种信念的一部分。

事实上,我们关心黎曼猜想的一个原因是,如果黎曼猜想不成立,如果我们知道它是假的,这将是对这个模型的沉重打击。它意味着素数中存在某种我们没有意识到的隐秘规律。我认为我们会非常迅速地放弃任何基于素数的密码学,因为如果存在一种我们不知道的规律,那很可能还有更多,而这些规律可能会导致密码学上的漏洞利用。那将是巨大的冲击。所以我们真的想确保这种情况不会发生。

随着时间推移,我们对黎曼猜想之类的东西已经深信不疑。一部分是实验证据,另一部分是在我们少数几次能够取得理论结果时,它们总是一致的。共识也有可能是错的,我们可能都漏掉了某个非常基本的东西。在科学史上过去发生过范式转移。但我们并没有真正的办法来衡量这一点,部分原因是我们没有足够的关于数学或科学如何发展的数据。我们只有一条历史时间线,以及大概一百个历史转折点的故事。

如果我们能接触到一百万个外星文明,每个文明都有不同的历史和科学发展,且顺序各异,那么也许我们真的有相当大的机会去理解该如何衡量什么是进步、什么是好的策略。我们或许可以开始将其形式化,并真正拥有一个框架。也许我们需要做的是,开始创建大量的微型宇宙或模拟环境,让 AI 解决非常基础的算术之类的问题,但要它们提出自己的策略来做这些事,并拥有这些小小的实验室来做检验。有人在研究能做 10 位数乘法的最小神经网络是什么,诸如此类。我认为,仅仅通过让小型 AI 在简单问题上演化,我们就能学到很多。

69:48你需要不仅非常迅速、而且足够深入地学习新领域,才能为前沿做出贡献。所以在某种意义上,你也是世界上最伟大的自学者之一。你学习数学新分支的过程是怎样的?那是什么样子?

我们之前谈到了深度和广度。这并不纯粹是人类与 AI 之间的区别。人类也是如此,我记得是伯林把人分成了刺猬和狐狸。刺猬对一件事知道得很透彻,而狐狸对什么都略知一二。我绝对认为自己是一只狐狸。我经常与刺猬合作,必要的时候我有时也能成为刺猬。

我一直有一点强迫症的倾向。如果我读到某样东西,觉得自己有能力理解,却不明白它为什么行得通,里面有某种魔法……有人能用一种我不熟悉的数学得出一个我想要证明的结果。我自己做不到,但他们用他们的方法做到了,我想弄清楚他们的诀窍是什么。别人能做到一件我认为自己也该做得到的事,而我却做不到,这让我很烦恼。我一直有这种强迫性的、追求完成的倾向。我不得不戒掉电脑游戏,因为只要我开始玩一个游戏,就想一路通关所有关卡。这是我学习新领域的方式之一。

我与很多人合作,他们教会了我其他类型的数学。我就是和另一个数学分支的数学家交朋友。我觉得他们的问题有意思,但他们得教我一些基本的技巧,告诉我哪些是已知的、哪些是未知的。我从中学到了很多。

我发现把学到的东西写下来很有帮助。我有一个博客,有时会在上面记录我学到的东西。过去年轻的时候,我学到了一些东西,掌握了某个很酷的技巧,就会说:“好,我要记住这个。”然后六个月后,我就忘了。我记得自己曾经记住过它,但我无法重构自己的论证。头几次,明明理解了某样东西却又丢掉了,实在令人沮丧。我下定决心,凡是学到的任何酷的东西,我都应该写下来。这就是这个博客的部分由来。

你写一篇博客需要多长时间?

这通常是我不想做其他工作时做的事。比如有某份审稿报告之类的任务,当时做起来让我觉得有点不愉快。写博客让人感觉有创造力、很有趣。这是我为自己做的事。

视主题而定,可能快的话半小时,也可能要几个小时。因为这是我自愿做的事,我写这些东西的时候时间过得飞快,而不像做出于行政原因必须做的事那样枯燥乏味。顺便说一句,那些恰恰是如今 AI 真正在帮忙的任务。

如果文明可以从第一性原理出发,决定如何使用陶哲轩的时间这一有限资源,最大的差别会是什么?如果让无知之幕来决定如何使用陶哲轩的时间,与现在的做法相比会怎样?那样的话,这档播客就不会存在了。

尽管我会抱怨某些我不想做却不得不做的任务……在学术界,你越资深,责任就越多,委员会也越多,诸如此类。但我也发现,许多我出于各种原因不得不勉强参加的活动……因为它超出了我的舒适区,往往会带来与我平时不会交谈的人的互动,比如你。我会学到有趣的东西,获得有趣的经历。我会有机会与我以前绝不会接触的其他人建立联系。

所以我非常相信机缘巧合。我确实会优化我一天中的某些部分,把它们安排得很仔细。但我也愿意把一部分时间留出来,去做一些不是我平常做的事情。也许那会是浪费时间,但也许我会学到点什么。更多的时候,我得到的是一种我原本不会计划到的积极体验。

所以我非常相信机缘巧合。也许现代社会存在一种危险,不只是 AI 的问题,就是我们已经变得极其擅长优化一切。我们并没有优化我们自己的优化。比如新冠疫情期间,我们大量转向远程会议,于是一切都被安排好了。我们在学术界保持忙碌。我们见到的人数与线下见面时几乎一样多,但一切都必须提前计划。我们失去的是随意敲开走廊里的某扇门,或者在取咖啡时碰到某个人。这些机缘巧合的互动看上去也许并不最优,但实际上非常重要。

我读研究生的时候,会去图书馆找期刊文章。你得亲自把期刊借出来,然后阅读那篇文章。你可以随手翻翻,有时下一篇文章也很有意思。有时没有,但你可能会偶然发现有趣的东西。这一点现在基本上已经失去了。如果你想看一篇文章,只需把它输入搜索引擎或 AI,就能立刻得到你想要的东西。但你得不到那些你如果用更低效的方式去找、本可能偶然发现的东西。

我曾在高等研究院待过一年,那是个很棒的地方,没有任何干扰。你在那里就是为了做研究。刚到的前几周很美妙。你把一直想做的那些论文都写完了。你一连几个小时地思考问题。但我发现,如果在那里待超过几个月,我就会灵感枯竭。我会觉得无聊,会多得多地上网冲浪。

你生活中确实需要有一定程度的干扰。它增加了足够的随机性和高温度。我不知道安排我的生活的最优方式是什么。反正这样似乎行得通。

77:05我很好奇,你预计什么时候会有能在前沿数学上至少做到和最优秀的人类数学家一样好的 AI。

在某些方面,它们已经在做超级智能的前沿数学了,是人类做不到的,但那是一个不同于我们所习惯的前沿。你可以说,计算器也在做人类无法完成的前沿数学,但那只是数字运算。

但我说的是完全取代陶哲轩。

我是说,你们要我干什么呢?

你之后可以去上所有的播客。

这也许不是该问的问题。我认为十年之内,数学学生目前所做的许多事情,也就是我们花大部分时间做的事,以及今天我们放进论文里的许多内容,都可以由 AI 来完成。但我们会发现,那其实并不是我们所做工作中最重要的部分。

一百年前,很多数学家只是在解微分方程。物理学家需要某个系统的某个精确解,就雇一位数学家费力地做微积分,算出这个流体方程之类的解。19 世纪数学家所做的很多事情,你现在可以调用 Mathematica、Wolfram Alpha、某个计算机代数软件包,或者最近的 AI,它几分钟就能把问题解决。但我们继续前行了。此后我们研究的是不同类型的问题。

一旦计算机出现……计算机以前指的是人。人们过去费力地编制对数表,像高斯那样计算素数,而这一切现在都外包给了计算机。但我们继续前行了。

在遗传学中,给单个生物体的基因组测序,曾经是一位遗传学家整整一个博士学位的工作,要小心地分离所有的染色体,等等。现在你只要花 1,000 美元寄给测序仪就完成了。但遗传学并没有作为一门学科消亡。你转向了一个不同的尺度。也许你研究的是整个生态系统,而不是个体。

我理解你的观点,但大多数数学进展、或者几乎所有数学进展由 AI 完成,会发生在什么时候?如果你今年得知一个千禧年大奖难题被解决了,你会有 95% 的把握认为是 AI 自主完成的。肯定会有这样的一年。

我想我确实相信,人类加 AI 的混合模式将在更长的时间里主导数学。这要看情况。它需要在我们已有的基础上再有一些额外的突破,所以这将是随机的。我认为 AI 目前在某些事情上非常出色,但在另一些事情上却糟糕透顶。尽管你可以在上面叠加越来越多的框架来降低错误率,并让它们更好地彼此配合,但感觉上我们并不具备所有的要素,来真正令人满意地替代所有的智力任务。

目前它是互补的,而不是替代。因为当前水平的 AI 将在很多方面加速科学,希望新的发现和新的突破会来得更快。同样也有可能,由于破坏了机缘巧合,我们实际上抑制了某些类型的进展。此刻一切皆有可能。我认为此时此刻的世界是极其不可预测的。

对于考虑从事数学职业、或者刚踏上数学职业道路的人,尤其是考虑到 AI 的进展,你有什么建议?由于 AI 的进展,他们对自己的职业应该如何以不同的方式思考,如果有不同的话?

我们生活在一个变化的时代。正如我所说,我们生活在一个格外难以预测的时代。我们几个世纪以来视作理所当然的事情可能不再成立。我们做一切事情的方式,不只是数学,都将改变。在很多方面,我更希望处在一个无聊得多、平静得多的时代,事情和 10 年前、20 年前大体一样。但我认为人们只能接受将会有大量变化这一点。你所学的东西,有些可能会过时或被彻底革新,但有些东西会被保留下来。

你始终要留意那些你以前做不到的事情所带来的机会。在数学中,你以前必须经过多年多年的教育,成为数学博士,才能为数学研究的前沿做出贡献。但现在,由于所有这些 AI 工具、Lean 以及其他一切,哪怕是在高中阶段,你也很有可能参与一个数学项目,并真正做出实质性的贡献。

将会有很多非传统的学习机会,所以你需要一种适应性很强的心态。会有空间让人仅仅出于好奇去探索和玩耍。你仍然需要拿到你的资历证明。在一段时间里,经历传统教育、以老派的方式学习数学和科学仍然很重要。但你也应该对非常不同的科学研究方式保持开放,其中有些方式现在还不存在。这是一个令人害怕的时代,但也非常令人兴奋。

这是一个很好的收尾。哲轩,非常感谢你。

很荣幸。