Grant Sanderson（@3blue1brown）——数学的过去、现在与未来
Grant Sanderson (@3blue1brown) — Past, present, & future of mathematics
全文文稿 · 按对话顺序保留完整内容，深入理解上下文。
§01赢得数学竞赛就需要AGI吗？
今天我很荣幸采访到YouTube频道 3blue1brown 的 Grant Sanderson。大家都知道Grant是谁，我对这一期真的非常期待。
等到AI模型能在国际数学奥林匹克（IMO）上拿金牌的时候，那是不是就等于AGI了？毕竟要做到这一点，需要大量的创造性解题和思维链。
说实话，我不知道大家说“AGI”这个词时到底指什么。如果你问十个人他们指的是什么，你会得到十个略有不同的答案。而且人们想表达的似乎是一种离散的转变，我并不认为这种转变真的存在。也就是说，AI在某个节点之前不算AGI，它们可能非常聪明，但不是AGI；而过了某个点，达到了那个基准，它就算是通用智能了。
这个世界观之所以不太合适，是因为现实感觉更像是连续的。比如GPT-4之所以让人觉得“通用”，是因为同一个训练算法可以适用于人们可能想让它完成的非常非常多种类的任务。这很酷。这是一项发明，六十年代的人们大概不会料到人工智能的编程方式竟然会是这样。
所以它是通用智能的，但也许人们说“哦，它还不是AGI”，指的是：在某些基准上，它比大多数人在某些事情上做得更好，但并不是在所有事情上都比大多数人更好。
就目前而言，它在数学上比大多数人强。在解AMC题和IMO题上，它也比大多数人强，只是还不如最顶尖的人。所以也许等它在IMO上拿到金牌时，就表明“好了，它和最顶尖的人一样好了”，我们又划掉了一个领域。但我不知道，你说的AGI，是不是指你把某个东西可能擅长的所有领域都列举了一遍，而它在所有这些领域都比人类强？
或者说，强到足以接管相当大一部分人类的工作。它现在确实令人印象深刻，但还远远不到占GDP的1%。不过在我看来，如果它能在IMO上拿金牌，而我又在你的频道上见过其中一些题目，我会想：“哇，这真是冲着播客主播和视频动画师来的。”
我不知道。我觉得这是两码事，因为在IMO上拿金牌，更像是把围棋或国际象棋下得非常非常好，两者是类比关系。那是极具创造力的。我不像那些热衷国际象棋的人那样懂棋，但我听他们说的一切都表明，那些走法和选择全都带着创造力的气息。我想，一旦它们开始生成艺术作品，其他所有人也就能体会到：“哦，这里确实有值得称为创造力的东西。”
我不知道人们让AI在IMO上拿金牌时会是什么样子，但我想象那会有点像AlphaGo的训练方式，也就是让它和自己下很多很多盘。数学比很多其他领域更适合使用合成数据。比如，你可以让它在Lean这样的证明检验语言里生成大量证明，然后在这一大堆证明上训练，让它判断：这是不是一个有效证明？那又是不是？然后再用英文书写的版本去做平衡。
我想象，一旦你得到一个能解这些IMO级别题目的东西，结果会是两种之一。要么它写出一个很好的证明，但你觉得它缺乏动机。因为凡是读过数学论文的人都有这种感受：论文有两种。一种是你从道理上就明白这个结果为什么应该成立；另一种是你会觉得：“每一步我都能跟上，可你为什么会想到那样做？我不知道。但我想这确实证明了结果是对的。”然后你就会觉得还缺了点什么。
所以你可以设想，如果它产出的是那种证明并借此拿到IMO金牌，这和取代各种工作所需要的是同一种能力吗？并不是。它现在离取代工作之间的障碍，感觉是完全不同的一套东西，比如上下文窗口要比现在那点小小的长度长得多，这样你才能在很长的时间跨度上建立联系、建立关系，理解对方的出发点，还有真正的解决问题这一部分。这表明它会成为一个更有帮助的工具，就像Mathematica能让你更高效地解数学题一样。
那请你告诉我，为什么我应该不那么惊叹，或者换个背景来看。我之所以会印象很深，是因为……国际象棋当然不只是程序在做的那些事，但你可以通过一定程度的搜索来缩小可能性的范围。更重要的是，在数学这个例子里，就你在频道上列举的一些例子来看，解题的能力极其依赖于想出正确的抽象来思考它，想出一些在题目本身、或者在任何其他考试的任何其他题目里都不明显的思考方式。这似乎不同于一盘国际象棋，下棋时你不需要像做IMO题那样去思考这盘棋的最大结构是什么。
我觉得你应该去问那些对围棋和国际象棋很了解的人，我很想听听他们的看法。因为我想他们会说，如果你想像AlphaGo那样擅长围棋，你就不能只靠树搜索，至少不能完全依赖它，因为会出现组合爆炸，这也是为什么人们长期以来认为这个游戏会难得多。在它们的理解中，大概必须有某种更高层次的结构。
别误会，当AI能解这些IMO题目时，我预计自己会印象非常深刻，因为你说得完全对，这里面有一定程度的创造力。我唯一的主张是，能做到这一点，和我们现在离“AI接管我们所有工作”之类的局面之间的障碍，感觉是不同的两回事。它似乎会是又一个被打上勾的格子，是类似国际象棋和围棋那样的历史性时刻，而不太会类似于工业革命。
我很意外你竟然没有更受触动。
我是受触动的。
或者说，你只是不认为这种技能——这个问题与对当前情形的另一种完全不同的思考方式是同构的，然后我走完五十个步骤，把这一切整合成这一个证明——我很意外你竟然不认为这种技能是许多有价值任务的上游。
我觉得这和我对Stable Diffusion这类东西的惊叹程度差不多。你要求一幅由石英和宝石构成的美丽山脉风景，它给你一个东西，具备风景的全部神韵，但又不是字面意义上的风景。于是你意识到，这里理解到了字面之外的东西。这非常了不起。
同样，要解出这些需要创造力的数学题，你不能只从定义出发。你说得百分之百正确，需要这种横向思维的成分，这也是为什么我们自己找到解法，甚至只是看别人找到解法，都会感到那么快乐。这恰恰是你从好的艺术类比、比较以及各种混搭中得到的那种快乐。这一切都让我印象深刻。
我认为这属于同一个类别。也许我和很多人不一样，我并不认为“AGI之前”和“AGI之后”之间有那样一条泾渭分明的界线。我只是不知道他们说的AGI是什么意思。我不认为会出现这样一个可衡量的离散步骤，更不用说一场数学竞赛会成为这个离散步骤的例子。
§02数学人才该配置到哪里？
有意思。
应用数学家。我们该把他们放在社会的哪个位置，才能让他们发挥最大的益处？他们中很多人进入了计算机科学和IT领域，我相信那里已经带来了很多好处。社会上还有哪些地方，可以让一大批数学家进去，把事情改善很多？交通、物流或者制造业？除此之外，你觉得他们还可能在哪里有用？
这个问题问得太好了。在某些方面，我恰恰是最不适合回答这个问题的人。
[笑声]
我不会回答你的问题，反而会为这个问题为什么重要再添一把火。
其实我最近一直在想，是否值得做一期不同于往常的视频，专门用来激励人们去问这个问题，尤其是即将毕业的学生。因为我觉得，当你爱上数学或某个技术领域时，默认的做法就是在学校里学这个。而当你学这个的时候，实际上你是在接受学徒式的训练，要成为这个领域的专家或研究者。在大学里学物理或数学的这种结构，即使他们知道并不是所有专业的学生都会进入这个领域，但你从中获得指导的人是学者，他们的研究就在这个领域里。所以很难不是在朝着这个方向做学徒。
我还注意到，当我去大学做演讲之类的活动，学生们在结束后走上来打招呼时，有很多人会说：“Grant，你的视频太有启发了。你是我学数学的原因。你是我去读研究生的原因。”
这时我脑海深处会响起一个小铃声：“好的好的。我很惊讶。我不知道自己是否真的该为此负全责，但能有这样的影响还是很棒的。”
但是……我想要这样吗？
[笑声]
让更多的人去读数学博士，这是件好事吗？一方面，我毫无保留地希望有更多人认同自己喜欢数学，这非常好。但这样做的人必然会被分流到传统的出路上，比如数学学术界。
我觉得你说得很对：数学学术界、金融、计算机科学、数据科学，大致就是这些领域，是非常常见的去处。结果就是，人才几乎肯定被过度配置在这些地方了。这三者都是有价值的，对吧？我不是说去这些地方不值得。但如果你扮演上帝，来调配人们的去向，你希望他们去哪里？再说一遍，我不是在回答你的问题，只是换了种说法重新提问，因为我真的不知道答案。
我觉得你或许应该去和那些做出这种转变的人聊聊，这样的人数量不多，但 Eric Lander 也许是一个不错的例子。Jim Simons 可能是另一个，他们原本做的是非常纯粹的学术工作，后来决定转向非常不同的领域。
我确实有过这样一个想法：设置某种强制机制，让纯数学家把一部分时间花在非纯数学的环境中，会很有益处。比如NSF（美国国家科学基金会）的资助附带一项要求，规定你有10%的时间要用于和其他院系的合作之类的。想法是，这些人在某一类特定问题上是非常出色的解题者，把这种人才分散到别处也许会有帮助。
我把这个想法讲给数学家们听时，有时会得到参差不齐的回应，他们会说：“我不知道我们是不是真能那么有用。”有一种看法认为，什么才算一个好的数学问题，其审美本质上植根于它的纯粹性，因此如果只因为人们特别擅长解那类问题，就假定他们的能力比别人的更具普适性，那或许有点精英主义。
为什么问的是应用数学家，而不是说，应用生物学家难道不该去物流之类的领域工作吗？因为他们同样具备一套也许可以泛化的解决问题的能力。
在我内心深处，我会觉得：“不对，数学家是特别的。数学里确实有某种通用的东西。”所以我没有答案。我要说的是，我其实很想听听人们认为正确的答案是什么，或者听听做过这种转变的人怎么说。比方说，他们原来是数学专业，或者是计算机科学、物理这类相近的专业，然后决定要全身心投入到某件事情中，不是因为那是他们靠擅长读书、享受学习而在挠的学术之痒，而是因为他们退后一步问自己：我想对世界产生什么样的影响？
我渴望听到更多这样的故事，因为我认为把它们专门讲给我的观众听会很有说服力：我的观众大概率正走在进入传统数学类领域的路上，也许我有一点点空间可以施加影响，让他们更有效地分散到各处。
但我不知道。我不知道“更有效”具体是什么样子，因为归根结底，我只是一个数学YouTuber。我不是在物流或制造业之类领域有职业经历的人，没有办法敏锐地感知到哪里需要这种特定的抽象解题能力。
或许可以推测一下，一个本科生或者年轻的数学天才，该如何开始思考——我可以在这里占据优势。
我其实想起了之前的一位播客嘉宾 Lars Doucet，他是个游戏设计师，开始研究乔治主义（Georgism），也就是主张只对土地征税的想法。他不仅对撰写这些观点很感兴趣，而且还有一个问题：如果你要对土地征税，就得弄清楚土地的价值。怎么确定土地的价值呢？有各种各样的算法，可以基于相邻土地以及如何在土地之间取平均值来最优地做到这一点，其中有很多复杂的细节。
他现在有一家创业公司，专门和各个城市签约，实施这些算法来帮助它们评估土地价值，这让房产税变得可行得多。这是另一个例子：最初的动机更偏哲学，但他作为技术人员的专长帮助他在这件事上做出了贡献。
我觉得这个例子很完美。真正的答案可能是，你不会得出一个普适的东西。对每个人来说，都取决于他的生活境遇把他与什么联系在了一起，比如他出于某种原因对乔治主义感兴趣。又比如，某个人，我也不知道，他爸爸开了一家造纸厂，他和家族生意有这样的联系，并意识到自己可以更高效地融入进去。
人们运用自己的方式会千差万别，这不会表现为某个播客里给出的泛泛建议，而只是邀请人们对这个问题进行批判性思考，而不是顺着“擅长读书就意味着你的未来该是什么样”的惯性走下去。
我们在采访开始之前聊过这个：我们借助数学工具，对现实有了好得多的把握。我说的不是什么高深的东西，就是能用十进制来计数，连罗马人都没有这个。
你觉得，这么重要的东西，在几十万年后会被我们的后代享用到的可能性有多大？还是说，这类基础计算能力、这类思维工具，基本上都会消失？
为了确保我理解对了这个问题：你是说，拥有一套数字系统改变了我们的思维方式，进而带来对世界更好的理解，比如我们可以做商业，诸如此类。或者我们可以用数量级来思考，而这在以前很难想象。“数量级”这个词，在罗马数字下很难写下来，更别说去思考了。那么对于我们的后代，有没有类似的东西？
熟练掌握编程接口确实有助于理解某些问题。我觉得当人们在笔记本（notebook）里摆弄某样东西时，会觉得那是一套非常好用的工具。它给人的感觉和采用一种好记法很像：你用很少的几个符号写下某样东西，却能发现其中蕴含的许多推论。就记法而言，这是因为代数规则的约束很强，所以当你写下某个式子时，可以经历一个近乎游戏的过程，看它如何化简和展开，然后看到某些不平凡的东西。
而在编程的情形里，当然是机器在做运算，你可能会得到一张图，揭示出一些额外的数据。我认为我们也许正处在这样一个阶段：这个过程有空间变得流畅得多，不再有那些小小的摩擦，比如你得搭环境，得把它链接到笔记本里，得找到合适的库，而是变成一种像你代数很好、站在白板前随意推演时那样流畅的东西。
我觉得纸仍然有很大的价值，这一点值得一说。如果你和我现在要深入探讨某个数学话题，比方说你问了我一个对播客来说糟糕透顶的问题，但我会说：“哦，咱们真的来钻研一下吧。”那么合适的媒介仍然是纸。我想我会拿出几张纸，我们就在上面涂涂画画。
一旦出现这样的情况：做这件事的合适媒介适合模拟和编程等等，那感觉会到达一个临界点，甚至改变你思考事情的方式。
§03Grant 的奇迹之年
“奇迹之年”是怎么回事？这在整个科学史上都出现过，尤其是数学家，他们在某一年里做出了职业生涯中许多乃至大部分重要发现。牛顿、爱因斯坦、高斯都有这样的年份。你对这是怎么回事有什么解释吗？
你怎么看？
我觉得有很多可能的解释。不可能只是因为年轻，因为年轻能持续十年而不是一年，所以肯定和……有关。
现在每一个35岁的人都在想：“你怎么敢这么说。”[笑声]
你知道我的意思。也许是二十年。所以对，不可能只是年龄。我不知道，可以有很多种可能的说法。一种是，你处在人生中别无牵挂的阶段，或者就是那一年特别自由，然后凭借那一年的成果，一年过后你就成功了。
但你自己怎么看？
我不知道。我同意这大概是多种因素共同作用，而不是单一因素。一种可能是，奇迹之年就像呼气，而此前有许许多多年的吸气。
最经典的例子是爱因斯坦的，他的奇迹之年里的那些论文也是他最早登上舞台的几篇，我猜很多想法并不是只在那一年才在他脑子里冒出来，而是多年思考、逐渐凝聚而成的。
所以你可能处在这样一种状态：积累了所有这些势能，然后出于某种原因，人生中有那么一个时刻恰好适合把这一切释放出来。如果我回顾自己现在所做的事情的历史，我觉得自己早期没有意识到，仅仅作为一名大学生，我就拥有多少势能：有各种思考事物的方式，有对新学习者的共情，或者只是有很酷的概念，对吧？一个视频背后的基本概念，其实是在我开始在网上发布内容之前，我学数学的那许许多多年里的全部时间，我才能够消耗这些积累。
这口井从来没有干涸，我总有一长串想要讲的东西，但从某种意义上说，我意识到这口井有干涸的风险，是我以前从没想过的那种风险。如果不刻意地把一天中的一部分时间，不是用于输出和制作，而是用于退后一步、学习新东西、接触一些我原本绝不会碰的东西，这种事情是不会默认发生的。
我不知道那些真正有过奇迹之年的人是不是也是这种情况：他们把所有这些东西都释放出来，然后要花十年时间才能重新积累起同样水平的势能。
另一点是，年轻的时候你有所得而无所失。所以即使不仅仅是年轻本身的缘故，也有一种愿意发挥创造力的心态，而且你没有那些因为之前已经成功而带来的义务。
有些学者做出了极为刻意的努力，不让“成功的诅咒”发生，或者说类似的某种说法。我想 James Watson 对各种演讲、采访之类的邀请有一套标准回复，大意是：“对所有人说不，因为我只想做一个科学家。”他的措辞要讲究得多，列了九点，但大意就是这样。
如果做不到那样，我觉得一个人很容易有许多其他事情来占用他的心智份额和时间，即使每周只有20个小时，也会真正打断创造性的心流。
你开始做这个频道的时候还是学生吗？
严格说来，是的。第一个视频是我在斯坦福读大四时做的。基本上，我在大学最后一年一直在摆弄一个个人编程项目，那就是我现在使用的动画工具的雏形。
我当时并没有打算把它用作数学YouTuber的工具。我甚至并不真正清楚YouTuber是什么。它真的只是一个个人项目。我记得是那年三月，我发布了有史以来的第一个视频。那恰好是处在转折点上。
如果你当时成了数据科学家，你还会做这件事吗？
数据科学家和数学博士基本上是势均力敌的两个选项，各占五成。
有没有这样一种情形：你先开始做视频，之后才做了 Manim？还是你认为这只有在大四有闲暇时间的世界里才可能？
如果目标是制作数学YouTube视频，那么以做 Manim 作为手段会是一件很疯狂的事，因为用那种方式做效率低得惊人。至少，我大概会在某个现有框架的基础上搭建。如果能回到过去，即使目标就是做视频，我也有太多事情要告诉过去的自己，有些设计决策造成了痛苦，本来可以更早修正。
但如果目标是做视频，做视频的好工具实在太多了，我大概会从那些工具开始；或者如果我想用脚本控制，也许我会先把 After Effects 学得非常到位，然后再学 After Effects 周边的脚本语言，说不定那样还更好，我真的不知道。
我只是一路走进来的，因为最初的项目是要做一个能够演示某些数学概念的东西，尤其是把函数可视化为变换，也就是把输入映射到输出，而不是画图像。视频输出只是让我知道自己在某种意义上完成了那个个人项目的方式，后来发现这很有趣，因为我也非常喜欢教学和辅导。
话说回来，还有很多其他人为数学GIF动图和小插图自己做工具，一方面这看起来效率很低。如果有人在维基百科上看到一张数学GIF，它很可能出自同一个人之手，这个人在制作这类知识共享（Creative Commons）视觉素材方面产量惊人，而他自己有一套土法自制的做法。
还有我在推特上遇到的 Matt Henderson，他做的数学GIF等等都非常漂亮，同样是非常土法自制的东西。它建立在着色器（shader）之上，但他在这方面有自己的一套。
也许值得一提的是，当某样东西是你自己的作品时，你所感受到的那种掌控感，会解锁一种创造力，让你觉得：“嘿，我想描述什么都可以，因为如果我现在做不到，我就改工具让它做得到。”就我所知，要涉猎各种各样的主题，也许就需要这种程度的创作自由，但对于这些反事实的情形，你的猜测和我的一样好。
这对我个人来说很有意思，因为我也是在大学里开始做播客的，当时完全偏离了我原本打算做的任何事情。而且这和 3Blue1brown 相比差了好几个数量级，我不想让观众集体尴尬，但我只是觉得有意思：这类项目后来成功的，有多少次最初只是大学时一时兴起、当作爱好开始的。
我要说，以低风险的方式开始是有好处的。你不指望它成长。我对 3Blue1Brown 会成长毫无预期，更谈不上期待。我觉得我之所以一直做下去，是因为在我读了数学博士那条人生岔路上，我想在互联网上留下一点数学讲解方面的足迹也许是个好主意。我当时把它看作一件非常小众的事，也许有些数学专业的学生和喜欢数学的人会喜欢，但我可以把这些东西当作作品集来展示，而不是当作有意义的受众规模。
我很惊讶，人们对我所做的这类东西竟有这么大的需求。从某种意义上说，这也许有帮助，因为我看到很多人是怀着当YouTuber的目标跳进来的。我想这是年轻人中最常见的理想职业，就是当个抖音主播或者YouTuber，对此你怎么看都行，但当你把这当作目标跳进来，你就会瞄准过大的受众，结果做出对谁都不是最好的内容，原因是：第一，你很可能还不太会做视频；第二，如果是一个普遍适用的想法，你就要和所有其他的传播者竞争。反过来，如果你做的东西小众得近乎不合理，并且也不指望它爆红，那么，一来你不会失望，有一千个人看就非常了不起，而不是令人失望；二来，你做出来的可能恰恰是针对观看者的那类内容的最佳版本，因为没有别人在为他们做这个，目标太窄了。
互联网的美妙之处在于，它有激励让你这样做。我不知道你刚开始做播客的时候是不是这样，但不去想怎么让它尽可能做大，实际上让它对那些收听的人来说更有深度。
§04史前人类与数学
史前人类似乎连基本的算术和数感都没有，这让你感到意外吗？对我们这些有现代认知的人来说，这类东西似乎如此普遍有用、如此基本，以至于它竟然不是在与世界打交道的过程中自然产生的，这令人震惊。你觉得意外吗？
你说得对，数感已经深入我们的骨髓，以至于很难设身处地去体会没有数感是什么样。你想想，“大多数人在日常生活中最先想到数字的地方是哪里？”它和商业与金钱相关。也许在某种意义上，这个问题等同于：早期人类没有商业、不和金钱打交道，这令人意外吗？
也许当你所在的社群规模低于邓巴数时，以牙还牙的互惠结构要合理得多，也行之有效，把每件事都精确记账反而会很讨人嫌。
你有没有看过那些研究？人类学家采访一些与正常社会隔绝得足够远的部落，他们没有你我这种程度的数感，但有某种计数的概念。比如你有一个椰子或九个椰子，他们对此有感觉。但如果你问1和9正中间是什么数，这些群体会回答3，而你我或者我们这个世界里的人大概会回答5，因为我们是在这种非常线性的尺度上思考的。
有意思的是，显然，思考事物的自然方式是对数式的，这也有点道理。从独处到十个人的群体，再到一百个人的群体，在复杂性上的增长大致是等步长的，比起从1到51再到102来说，更是如此。我在想，是不是我们在增加数感的同时，在某些意义上也丢掉了一些数感，或者丢掉了另一些直觉：现在如果你问初中老师，什么内容最难教会学生理解，他们会说是对数。但对数本该深植于我们的骨子里，对吧，所以它不知怎么被遗忘了。也许在形式意义上，重新学会它更难，但也许人类天然就有某种数感和某种量化思维，只是当它不是以同样的语言或同样的方式表达时，就很难被察觉。
对，我看过 Joseph Henrich 讲的那个例子，现在仍然存在一些处于这种情形的部落。当事情说得非常具体时，比如谈到种子之类的东西，他们能做计数和算术，但数字这个抽象概念对他们来说是不存在的。
你觉得数字这个抽象概念对你的生活有用吗？
哦，当然。
在哪些方面？
这几乎就像在问：字母表这个概念有什么用？它出现得太频繁了。比如，为这次采访我要布置几盏灯？
但那是抽象数字的概念吗？因为那就是两个人，两盏灯，一一对应。
你有没有用到把“2”当作一个对象的抽象，它同时是有理数、实数和整数，处在一个既有加法结构又有乘法结构的群的语境中？其实不过是：一盏灯给你，一盏灯给我。
我很确定数字的抽象概念对我们所有人都很重要，但我觉得它并不是显而易见的。更确切地说，它塑造了我们的思维方式，我不确定它是否真的改变了我们的生活方式。前提是你不从事STEM，否则你是真的一直在用它。
对，我正试着回顾我这一天，想想我在哪里用到了数字？有显而易见的，比如你提到的商业例子，你去餐厅，要算该付多少钱或给多少小费，但这似乎是一个非常特殊的例子。
我真的很少用到数字吗？我不知道。
很多正在收听的人大概在心里大喊着更贴切的例子，但这很难说。
数学家在研究一个问题时，最大的思维限制是什么？是工作记忆吗？是处理速度吗？植物通常受氮的限制，那么对数学家来说，相当于氮的东西是什么？
这是个有趣的问题。我不是研究型数学家，不该假装是。回答这个问题的合适人选应该是研究型数学家。我在想你能不能得到一致的答案，因为和很多事情一样，答案不止一个。
也许是可用于建立联系的类比的数量？你接触过的相距甚远的领域越多，就越有可能看出这里用过的某种解题思路也许在这里有用。有时这甚至被字面地形式化为不同领域之间的联系，比如范畴之间的函子之类。
但有时要直观得多。有人在做组合学类的问题，他们会想：“哦，也许母函数是个值得引入的有用工具。”然后在研究素数这个完全不同的语境里，他们又会想：“哦，也许可以用母函数这类方法。也许你得对它稍作调整才能奏效。”
我之所以这么说，原因之一是，过去两百年里的数学论文有一个趋势：现在典型的作者数量比以前多得多。我觉得人们有一种误解，认为数学是一个由孤独的天才在黑板旁独自想出伟大洞见的领域。现实是，它是一个高度协作的领域。
我记得，我还是个小孩的时候，在一次数学圈活动里第一次听一位数学家讲话，有人问这个人：“你的工作有什么让你感到意外的地方？”他说的第一件事就是出差有多频繁，他没想到会这样。这是因为，如果你研究的是某个非常具体的小众领域，在这个领域里取得进展的方式就是与这个领域或相邻领域的人合作，而这样的人本来就不多，他们很可能不在你的大学。所以你要经常出差去和他们合作。
如今这些很多是在 Zoom 上进行的，但会议仍然极其重要，像 MSRI 这种把人们聚到同一个屋檐下的活动场所，也许就是试图系统性地做这件事的一个例子。你可以说那是社交性的东西，但我想它也许触及了这样一个想法：你想要的是接触尽可能多的可用类比。所以对你的问题，也就是数学家的氮是什么，简短的回答是：类比。
§05为什么这么多数学都这么新？
这其实是个有意思的问题，我本来没打算问你，只是刚好想到了。
你会不会对很多数学如此之新感到意外？即使是高中阶段教的数学。而物理或生物，它们也很新，但你可以讲一个故事：直到不久以前我们才有工具去观察细胞或检视电子；可我们有数学家已经两三千年了，他们做的事情相当精深，古希腊人就是如此。既然如此，线性代数为什么这么新？
我原本不会觉得数学在那种意义上是新的，尤其是高中阶段。我记得总有一种令人沮丧的感觉：所有这些东西其实都有一百多年以上的历史了，就你所学定理背后的人名而言，没有一个是稍微现代的。
而在生物学里，我们对蛋白质如何形成的理解相对要现代得多，你可能只隔了几代人。在某种程度上，这里有一个纯粹的人力因素。历史上大部分时间里，有多少人在做纯数学？大部分时间里，一个都没有。没有人是纯数学家。他们是数学家加上别的什么，或者是物理学家，或者是自然哲学家。而就你在做自然哲学而言，其中一个组成部分是发展数学，但那并不是你所做事情的全部。
即使是那些我们认为是非常非常纯粹的数学家，也就是他们很多最著名的成果属于纯数学，比如高斯，实际上他的很多成果也是围绕着非常实际的问题。
也许从那以后，才开始出现更像纯数学家的时代。可用的绝对人数，也就是投入到发展新定理中的人时，大概出现了巨大的飙升，因为人口增长了，而且有经济自由去做学术这种相当奢侈的事情的人口比例也增加了。
也许大部分数学都要近得多，这相当合理。这就是我的猜测。
其中有些东西其实看起来相当现代，比如信息论。它不到一百年，却相当基础。理论上，你很早以前就可以写出那篇论文。
这是个非常好的例子，也许它表明，所发展出来的数学，比我们通常认为的更服务于你所处的世界，以及它被用来解决的相邻问题。一方面，信息论是个很好的例子，因为它如此纯粹，你完全可以提出这个问题，可以定义比特的概念，但显然当时没有足够强烈的需求让人以这种方式思考。而当你在做纠错，或者在贝尔实验室思考导线上的实际信息信道时，正是这些促成了它。
另一个也许非常好的例子是混沌理论。你很容易问：为什么混沌理论这么晚近？自从有了微分方程，你就可以写出洛伦兹方程。为什么没有人这样做，并认识到存在这种对初始条件的敏感性？
在那种情况下，也许恰恰相反：不是你需要计算机的存在作为待解决的问题，或者说计算机带来的问题就是要解决的问题，而是你需要它们，才能首先发现这个现象。
混沌理论里的很多原创概念，基本上来自运行模拟，或者做那些需要海量计算、靠手算根本做不了的事情。有人可以提出这个问题，但他们不会观察到那种出乎意料的现象。而且在那里，即使是那些在计算机出现之前和之后同样相关的问题，比如天气建模的本质，或三体问题的本质，诸如此类，不知怎的，没有合适的思维工具，它就是没有进入人们的脑海。
所以，也许还有其他类似的情形：那些开始从根本上塑造每个人生活的问题或技术，必然也会转移数学家的关注点。
这其实让我想起 Scott Aaronson 量子信息课的第一天。他说：“我即将向你们描述的东西，在量子物理出现之前，数学家就可能已经发现了。只要他们问过这样的问题：我们要做概率，但只允许使用酉变换。”他们本可以从那里直接发现量子力学或量子信息。
关于数学，尤其是当你谈的是纯粹公理化的数学时，本科生的体验是这样的：你读一本教科书，它一开始就说，这是这个领域的公理，然后我们要从这些公理出发推导各种引理和定理，接着往下进行。
以此为框架，你会有这样的印象：你可以随便想出任何公理。随便编一堆公理，推导出由它们得出的结论，而可能的数学空间大得不可思议。所以你需要某种过程，来筛选出哪些是值得去追求的有用的东西。
所以我认为，那些纯数学教科书里太常缺失的东西之一，就是动机问题。为什么人们发现有用的是这一套公理，而不是别的？量子信息论的框架，是把线性代数和概率结合在一起，这很棒，但还有各种其他东西，你也可以试着把它们硬凑在一起，说不定也能得出某种数学。
问题就变成了：这样做值得你花时间吗？
纽结理论的出现，是因为开尔文勋爵有一个理论，认为元素周期表上所有元素的结构都与某种纽结有关。纽结是指，三维空间中有一个闭合的环，如果你想让它连续变形而又永远不自我穿越，你就会问：能否把它变回比如一个开放的环？或者如果变不回开放的环，那么三维空间中所有能够变形成它的其他环构成的集合是什么？最后你就会把所有不同的纽结分类。
这一切始于一个完全错误的理论，用来解释原子层面上是什么给了原子这种非常稳定的结构。我想他是从烟圈中得到的启发：如果你手特别灵巧，可以让烟圈在三维中打成结，而且它们非常稳定，因为它永远不会自我穿越。它具有所有这些性质。这对理解元素周期表来说是无关的，但它是一个有趣的数学问题，人们就此发挥下去了。在这个例子里，有人想到提出这个问题的理由是任意的，然后一些人沿着它做下去，坦率地说，如果它是个更有用的问题，沿着它做下去的人大概会比现在多。
所以真正的问题是，你要问的是，是什么促使人们提出了后来被证明是数学问题的问题？因为可能成为数学问题的空间大得不可思议，根本不可能靠随机游走去探索。
等等，你的意思是说，开尔文勋爵的苹果故事，其实是他抽了很多烟斗，然后把吐出的烟圈分了类吗？[笑声]
你和其他创作者通过动画视频改变了教学发生的方式。要对电子游戏、文字以及所有其他媒介做类似的事情，需要什么？为什么在这些方面没有出现类似的大规模采用，以及对教学方式的改造？
我不确定我是否理解了这个问题。你是说，既然讲解类视频兴起了，为什么没有出现类似的教学类电子游戏的兴起？
我玩的游戏不够多，所以没办法像精通游戏的设计师那样谈这个，但要明白的一点是，游戏非常难做。一款游戏需要大量资源，而且每当人们试图以教学为动机去做的时候，似乎都不好玩，达不到人们希望的那种好玩；而真正最有效的那些游戏，反而没那么直接地具有教育性。
我真正玩过的一款游戏，是因为我的朋友们说得够多：嘿，你真该玩玩这个，它似乎和过去十年左右的数学讲解有关，那就是《The Witness》（见证者）。你玩过吗？
我听说过。
作为一个不玩游戏的人，我玩了之后觉得它太棒了。它在你能想到的各个方面都做得极其出色。其中关键的是解题方式的本质。
人们之所以向我推荐它，是因为玩《The Witness》的感觉和做数学的感觉很像。它是非语言的，你会遇到一个个小谜题，一个谜题的简单机制会让你了解到那些对难得多的谜题也适用的基本机制，所以如果你按正确的顺序玩，就会有顿悟的感觉，那种感觉非常令人满足。
你玩完会觉得，应该也能为数学做出类似的东西，也许确实可以。只是做一款游戏本身就太难了，因此根本没有足够的产出速度去探索，让市面上有足够多的游戏，从而其中有一款能一炮而红。
YouTube上有很多数学视频。大部分很糟糕也没关系。没关系，因为你只需要有足够多，这样当有人搜索他们想要的词条时，能看到一个好的、能解痒的视频；或者他们可能会被推荐一个视频，它在他们脑海里提出了一个他们原本不会想到的问题，而一旦这个问题出现，他们就变得非常感兴趣。而对于电子游戏，作为用户，你在每一款上花的时间也要多得多。平均体验不是五分钟，而是很多很多个小时。
你也问了文字方面同样的问题。我不确定我是否接受这个前提，即文字讲解的世界里没有同样的进步和创新。Mathigon 就是一个非常非常好的例子。它就像未来的教科书，基本上是一本交互式教科书，讲解非常出色。如果它没有产生更大的影响或触达更广的人群，也许只是因为人们不知道它，或者没有便捷的途径获得一个能把文字讲解领域里真正出色的创新推荐给他们的东西，不像YouTube有一个推荐引擎，会竭尽全力把这类内容推到更多人面前。
在实体印刷教科书的世界里，有太多我非常喜欢的书了，如果说这种媒介没有进步，比如越来越多地为学习者着想，我觉得那是对它的不公。
§06教育的未来
最顶尖的0.1%的教育者是不是应该全部上网？因为如果你只是一位大学教授或高中老师，每年只教50个学生之类的，似乎是一种浪费。既然有更大的规模可用，是不是应该有更多人去试试能不能触达更多的人？
我认为，让更多教得好的教育者把他们的内容放到网上，当然不是坏事。我非常鼓励这样做，哪怕只是简单地让人在教室后面架一台摄像机。但我不认为把这些人从课堂里拉出来是个好主意。
如果说有什么的话，我觉得对我的事业来说，我能做的最好的事情之一就是让自己多进教室。其实我很有决心，将来某个时候做若干年高中数学老师。这样做的机会成本很高，所以我大概会计划得晚一些，只要没有其他生活事务占用大量心智。因为我所知道的关于高中教学的一切都是：头两年会把你折腾得够呛。
如果你想在网上讲解东西，最宝贵的东西之一，就是对潜在观众的共情。你与他们在生活境遇上的距离越远，就越难。我不是大学生，所以我对大学生没有同样的共情。当然更不是高中生，所以我已经失去了那种共情。这种距离只会让为他们做出好内容变得越来越吃力，我认为让这些人保持与课堂里的人真正需要什么的日常接触，是他们保持现有水准和敏锐度所必需的。
所以是的，让更多最顶尖的0.1%把他们的东西放到网上，但我绝对不同意把他们从现有处境里拿出来的想法。也许可以拿出一两年，让他们不丧失那种敏锐，但然后马上把他们放回去，因为这会让他们更擅长线上讲解。
另一点我可能不同意的，是触达面更低这个说法。没错，人数更少，但你和他们相处的时间要长得多，而且你真的有机会通过社交联系去影响他们的人生轨迹，这是在YouTube上做不到的。
你用“教育”这个词的方式，我也许会替换成“讲解”这个词。你想让讲解上网，但“教育”（education）这个词与“引出”（educe）同源，意思是把东西带出来，我很喜欢这个词源，因为它提醒你，教育者的工作不是把自己的知识塞进别人的脑袋，而是把它引出来。这在视频里很难做到，事实上，即使你可以通过提出引人入胜的问题来接近这一点，在大多数情况下，视频的作用也是在某人有了问题之后去回答它。
教师的工作，或者说教育者的工作，应该是提供一种环境，通过启发、通过项目、通过一路上的一点点指导和鼓励，尽可能多地把学生身上的东西引出来，这需要眼神交流，需要亲身在场，需要成为他们生活中的真实人物，而不只是屏幕后面一个抽象的声音。
那么我们是不是应该把教育者更多地看作励志演说家？也就是说，把内容装进你脑子里的实际工作也许交给教科书或YouTube，而我们之所以有大学课堂或高中课堂，是因为有一个类似托尼·罗宾斯（Tony Robbins）的人来推动你去做这件事。
那是其中的一部分，但里面不只是励志演说。还包括促成项目，甚至想出项目是什么，或者察觉学生对什么感兴趣，这样你就可以针对他们特定的兴趣来量身定制一个问题，或者你可以充当策展人。比如：“嘿，网上有很多关于泊松分布是什么的讲解。这些里面，哪一个是我可以推荐的合适的？”基于你对作为特定学生的某个人的了解，什么可能会引起共鸣。你可能更适合做这件事。所有这些都超出了托尼·罗宾斯式的“成为你能成为的最好的人”之类的话。
我想说的一点是，每次我和数学家聊天，试图了解他们是怎么入行的、什么让他们起步，他们常常一开始就说，有一位老师，那位老师做了一件很小的事情，比如把他们拉到一边，只是说：“嘿，你在这方面真的很棒。你有没有考虑过多学一点？”或者给了他们一道有趣的题。
这件最多只花老师30分钟、甚至可能只有30秒的事情，对他们所交谈的那位学生的人生，产生了完全是里程碑式的连锁反应，让他们走上了一条截然不同的轨迹。
我想到两个例子。一个是一位女士说，她有过这样一个时刻：被老师拉到一边，他只是说：“嘿，我觉得你数学真的很好。你应该考虑主修数学。”这在当时完全超出了她的视野。这改变了她的想法。后来她说，她得知他对很多人都这样做过。他就是把他们拉到一边，说：“嘿，你数学真的很好。”所以，这就是你作为他们生活中的一个人物所能产生的那种影响，是隔着屏幕做不到的。
另一个非常有趣。我问一个人为什么进入他所在的那个特定领域。在我看来那似乎是随意的，不过我想所有纯数学看起来都是这样。他说，读研究生的第一年，他坐在一场研讨会上，研讨会结束时，那位教授，是一位他之前从未见过的老教授，两人之间没有任何联系。这个人找到他，走过来说：“你。我有个问题给你。一个很好的研究问题，我觉得接下来几个月可能是个不错的起点。”这个人心想：“哦，好吧。”他拿到了这个研究问题，花了几个月思考，然后回来，后来才发现，教授认错人了，他把他当成了自己本该指导的另一个人。他就是那种典型的、对身边人不太上心的糊涂老数学教授的形象，真实情况就是这样，但尽管如此，那个无意间给了别人一道题的时刻，彻底改变了他的研究道路。这至少说明了你作为学生时对初始条件的敏感性，而教育者正处在这个敏感性的节点上，可以彻底把你要做的事推向这个方向或那个方向。
每有一个这样的故事，就会有一个令人遗憾的、相反的故事，讲的是那些被打消了学数学积极性的人。我想那是七年级。我所在的那个数学班里，我是数学好又喜欢数学的人之一，经常帮班上的同学理解。我当时有足够的自负，给自己建起了一层坚硬的外壳。交代一下背景：我也很喜欢音乐，那周早些时候刚举办了一场音乐会，我有一段独奏之类的。
有一天来了一位代课老师，她对这些背景一无所知，她讲了一堂课，然后让我们在课的后半段把相关的作业过一遍。班上其他所有学生都很困惑，我记得他们来找我，我试着提出帮忙。代课老师在教室里一圈圈地走，基本上是在每个人的作业旁画一颗小星星，标示他们做到了哪里，只是想了解他们有没有进展。这是她衡量他们进度的方式。轮到我时，我一道也没做，因为我整个时间都在试图帮助其他所有人。她在同一道题旁边画了三次小星星之后，对我说：“有时候搞音乐的人就是不是学数学的料。”然后接着往前走了。
我当时处在最有利的情形，不会让这句话重重打击到我，因为第一，我占据道德高地：“嘿，我一直在帮所有这些人。我懂这些，我还一直在替你干你的活。”这是我七年级时那颗小小的自负的脑袋。我知道自己懂这些东西。即使竖起了所有这些铠甲，我记得这对我的整个系统仍是一个冲击，她说了这句话，让我莫名其妙地眼眶湿润了。
我只能想象，如果你处在对数学没有信心的位置，而你内心深处知道自己确实有点吃力，那么像这样随口的一句话，就可能让你与这门学科的整个关系彻底出轨。
所以这是说明对初始条件敏感性的又一个例子。我处在稳固的位置，没那么敏感。无论如何我都会热爱数学，但你可以设想一个更处在那个摇摇欲坠边缘的人，而那句话，不管是哪个方向，要么说你擅长这个，你应该考虑主修它，要么说“有时候搞音乐的人不是学数学的料”，而这话甚至都不是真的。这也是她说这话时让我心里一直隐隐不舒服的另一点。
所有这些对人的成长都太重要了，所以当人们谈论在线教育很有价值或具有革命性之类时，我心里有一部分会翻白眼，因为它没有触及真相：在线讲解与所有这些真正发生的重要事情无关，至多应该是为帮助那一边服务，也就是理论落地、见真章的地方。
我之前请 Tyler Cowen 上过播客，他显然有 Marginal Revolution 博客，还有在YouTube上讲解经济学的视频，他也给了类似的回答。我问他，我们是否应该把你看作所有这些经济学老师的替代品？在他看来，他同样更像是对课堂上所发生功能的补充。
关于你说的初始条件，我相信你记得这个故事的细节，我只是隐约记得听过，是不是有这么一个例子：一位后来成了名的数学家，他上课迟到了……你想讲讲这个故事吗？
我记不清每个细节，但我想那是一门统计学课，他是研究生，他迟到了，黑板上有教授写的两道题。他以为这两道题是作业，于是回家去做，几周之后，他去教授的办公室交了作业。
他说：“很抱歉，我交得太晚了。这一道花了我比其他几道长得多的时间。”教授说：“哦，好的。”就把作业放到一边了。几天后，教授有时间过目，才发现这个学生把这些题完全解出来了。学生不知道的是，黑板上写的并不是作业题，而是教授举出来的这个领域里两道尚未解决的问题，用来说明这个领域在努力追求什么。
我不记得那是什么问题，要是记得，会给这个故事增添更多趣味。但按多年前别人讲给我的版本，教授后来找到了这个学生的住处，敲开门说：“你知道这其实是尚未解决的问题吗？”然后他基本上就把这些题变成了自己的论文。所以，就是这个意思：出于完全随机的原因被交给了某样东西，它改变了你所做之事的走向。
就像你如果知道一道填字游戏有解，你就会一直做下去，直到把它解出来。
或者四分钟跑完一英里，对吧？
§07数学让我意识到自己没那么聪明
没错。这是个很好的例子。
另一个宝贵的经历，至少是我自己的经历，是在大学里上了 Aaronson 的课，并意识到我至少比他低两个标准差。这对我来说其实是一段非常宝贵的经历，并不是因为它增强了我的信心，我并没有过那种“哇，我在这方面很行”的时刻，但知道这一点是有用的。做播客是比较容易的事，所以知道外面确实存在一些技术性的东西，你可以钻得很深，而有些人会远远在你之上，拥有这样的认识是好的。
你认为有一个带有静态g因子特征的心智模型是合理的吗？也就是说你比他低两个标准差，而这将永远是事情的状态？还是你认为正确的心智模型应该允许在贡献究竟来自哪里、直觉来自哪里这些问题上保持灵活性？也许经过多年在某类问题上的求解经验，看起来像灵光一闪的东西，其实是他多年思考某类谜题所留下的沉淀，而你可能没有这些。
我能给你讲一个那门课上的故事吗？
好啊，请讲。
他在讲解复杂性理论中一个非常重要的方法的证明，这个方法有助于证明各种问题复杂度的界。他讲解完说：“你们知道，1999年我自己证明了这个，但随后我意识到，六个月前就已经有人发表了一篇使用这种方法的论文，于是我意识到我正在追赶前沿。但是我小时候是在做欧拉的东西，那是落后两千年。现在我只落后六个月。”
后来当天晚些时候我想：“等等，1999年。Scott Aaronson 那时多大？”我想他当时是18或19岁，而他基本上是在证明复杂性理论的前沿成果。到那时你就会想：“好吧。Aaronson 在这里是个特别的物种。”
你说得对。他大概确实是个特别的物种。
但总的来说，对自己的达宁-克鲁格效应有这么一个上限约束是好的，要知道世界上存在这样的人。
我想说的也许是，无论他比你高两个标准差的那个尺度是什么，它可能不是唯一重要的尺度，而且对这些领域的贡献并不总是看起来像天才的洞见，有时成果可能来自比如成为两个不同领域的专家，然后找到它们之间的联系。做出贡献的人不一定是世界上的 Scott Aaronson 那样的人。不过，你可能是对的，确实存在这样的人。冯·诺依曼是这类人的另一个例子，对吧？
§08哥德尔不完备定理重要吗？
哥德尔不完备定理在实践中有多重要？它是经常出现的东西，还是只是一个关于界限的有趣知识，在日常里并不适用？
你又问了我一个我不是最合适回答的问题，我应该先加个说明。据我了解，它确实不会出现。
它所传达的那个悖论性的事实，即你不可能拥有一个公理系统，既能证明所有真的命题，同时又是自洽的。你由此构造出的矛盾，给人的感觉与这句话相同：“这句话是谎话。”我们思考这个陈述：如果它是假的，那它必然是真的；如果它是真的，它必然是假的。是同样的味道。你可能会问，这个悖论的存在是否意味着说英语很困难。[笑声]碰巧带有一点自指的东西，是非常罕见的。
第一批出现了一个在这方面感觉没那么病态的东西的时候之一，如果好奇的听众想深入了解，搜索词是 Paris–Harrington 定理。
它有一点病态。它并不是那种看起来被刻意构造成自指之类的问题，也就是你知道，它显示出自己处在你起始所用公理系统的界限之外。在某种意义上，它被证明是不可判定的。但它问的是一个……我不想说“自然的”，因为很多这类数学问题并不自然。它问的是一个你不会预期是这样的问题。
所以也许在理论的边缘，有时那些可能存在的悖论会显现出来。我得到的印象是，没有数学家在想这个问题，他们并没有主动为此担忧。并不是“哦天哪，我能确定我要证明的东西是真的吗”。
对于所有实际的问题，比如黎曼猜想或孪生素数，几乎每个人都会说：“不，总会有一个答案的。”它们可能最终以这样的方式之一被证明是不可判定的，但人们有很强的感觉，那个定理出自一种病态，而人们真正关心的自然问题并非如此。
这真的很有意思：从外部以及在科普中看起来是非常根本的东西，人们肯定都听说过。
这里一个很好的类比是计算机科学中的停机问题。在计算机科学课程里最先学到的东西之一就是停机问题的证明，它也是那种你其实并不需要能够证明自己拥有那样一种程序的东西。
不再评论了。[笑声]
为什么好的讲解这么难找，尽管它们这么有用？显然，除了你之外，还有很多其他好讲解的例子。但总体上，似乎数量不如应有的那么多。这只是一个经济学的故事吗，也就是没有人有动力花大量时间做好的讲解？还是说这是一项真的很难的技能，与自己做出发现的能力并不相关？为什么好的讲解很稀缺？
我想也许有两个解释。
第一个不那么重要的解释是：知道某样东西，与记得不知道它是什么感觉，二者是有区别的。而好的讲解的特点是，你带着某人沿着一条路径，从不理解的感觉走到理解的感觉。
你之前问到了缺乏数感的社会。要把自己置于那种大脑状态是如此困难，比如连数字都不知道是什么感觉？你要怎么开始解释数字是什么？也许应该从一堆具体例子出发。但就我们思考数字和加法的方式而言，你在开始之前就得先拆解很多东西。
而我认为在更高的抽象层次上，这变得更难，因为它如此深地塑造了你的思维方式，以至于要记得不理解它是什么感觉很难。你在教某个孩子代数，以及变量的前提。他们会问：“X是什么？”它不一定是任何东西，只是我们要求解的对象。孩子会说：对，但它到底是什么？要回答“X是什么”是一件出奇困难的事，因为它正是你起步的前提。
更重要的解释大概是：最好的讲解在很大程度上取决于学习的那个人。对你来说完美的讲解，往往可能与对别人来说完美的讲解非常不同。所以有很多非常好的、针对特定领域的讲解。翻开任何一本教科书，它的第12章很可能把里面的内容讲得相当好，前提是你已经读过第1到第11章；但如果你是冷启动进来的，就有点难了。
所以真正的金蛋是：你如何构建尽可能普遍有用、尽可能普遍有吸引力的讲解？而因为你不能假设有共同的背景，这就成了一个挑战。我认为一路上有一些窍门，但因为经常做讲解的人面对的受众足够具体，比如就是这个30人的班级，或者是这个专业的三年级学生。从某种意义上说，所有专业讲解者的讲解都有极强的针对性，也许这就是你说的经济学原因：至少直到最近的历史上，都没有这样的需求或激励，去做出对极其广泛的不同背景的人都有激励性、易于接近且清晰的东西。
§09Grant 如何制作视频
你制作视频的过程，主要是你一个人吗？
是的。
考虑到你触达的规模，似乎如果可能的话，生产力的小幅提升就值得设立一整个制作工作室。让我惊讶的是，搭建一个制作团队的交易成本居然高到，最好还是亲自去做那些琐碎的细节。
我是说，这坦率地说可能只是我个人的缺陷。我不擅长把人拉进来，过去我也很难有效地做到这一点。但其中一部分原因是，那些看似琐碎的细节，有时恰恰就是我最初构思它的方式。
很多YouTuber如果能雇人，第一件事就是雇一个剪辑师。这是因为他们拍很多东西，所以剪辑过程的很大一部分，是去掉拍下来的不该出现在视频里的内容，只留下该留在视频里的内容。这很耗时，也有点琐碎。而且这可能与创作者本该思考的事情关系不大。
对我来说，剪辑过程是这样的：我先把我想要的所有动画等内容在时间线上排好，然后一旦录完旁白，真正的剪辑大概只要一天。我想我可以雇个人，从生活中夺回一天，但来回沟通我具体想要什么，我一路上做的所有那些小剪辑，是我思考最终成品应该是什么样子的方式，很难用语言表达出来。
这也类似于为什么我觉得用 Copilot 和这些大语言模型工具来写动画代码相当困难。如果你在学习某个新库，而它知道你不了解的那个库，那会非常棒。但对于我自己里里外外都熟悉的库，如果我只是在用它，感觉会是：“哦。这应该是最容易自动化的事情了。它不过是文本。”我应该是第一个能真正把这件事做得更好的YouTuber，因为每个动画背后的实质是文本，不像剪辑工作流那样。
但它行不通。我想也许只是因为你需要一个多模态的东西，真正理解输出的外观。输出并不是能以文本来消费的东西，而是关乎它看起来怎么样。
但在更深的层面上，除了用代码，我甚至无法用语言说出我想在屏幕上呈现什么。这就是我思考它的方式。如果我试着用英语把我想要的东西写成一条注释，再让它展开，这个任务其实比直接写代码更难。而如果用代码写起来很笨拙，那是一个信号，说明我应该改变库的接口，让它更不笨拙，以便按我想要的方式去表达。
也是以同样的方式，创作过程中很多感觉琐碎的部分，其实就是思想的齿轮在缓缓转动；如果这部分齿轮不在这里转，它们就得在与合作者沟通的接口处转。
说到用 Copilot 来工作，我们可以把你想做的修改可视化。微软研究院的《Sparks of AGI》论文里有一个其实很有意思的例子：它在生成 LaTeX，他们生成了一些输出，然后说：“把这个改一下，让渲染出来的图像以这种方式变得不同。”它居然真的做到了，这就是他们用来证明它能理解更高层次的视觉抽象的证据。我猜它对 Manim 做不到这一点。
有几个原因可能使这种比较不那么公平。Manim 有两个版本。一个是社区版，由社区为社区而做，另一个是我的版本，两者的接口大体相似。渲染引擎则相当不同，但由于其中的细微差异，它可能倾向于从其中一个版本学习，或者它的示例来自其中一个版本，然后把两者混在一起。所以一旦存在差异，东西就是跑不起来。
也许是我自己搬起石头砸了自己的脚，因为我给视频写的代码并不怎么加注释。它是一次性的东西。我制作的方式，感觉更像是剪辑流程。就像你去看某个人在 After Effects 里的操作历史。
更像那样：我想做的事情并没有一个完美的英文描述，再加上对它的执行。就只有执行本身。
它并不打算事后被编辑，因为我只是处在为某一个视频制作场景的流程中。也许我本可以给它一个更好的机会去学习应该发生什么，比如准备一套有完善文档的东西：这是输入，这是输出，这是用英文描述它的注释。但即便如此也解决不了问题。我首先得说清楚我想要的东西是什么。而编程语言本来就是最恰当的表达方式。
§10Grant 的数学讲解大赛
自从我知道这件事以来，我就一直非常好奇。我看了很多数学讲解之夏（Summer of Math Exposition）的获奖视频，它们之好让我震惊。其中很多看起来就像有整个制作团队专门在做。而且让我震惊的是，奖金池相对不大，大概是五位获奖者每人一千美元，你竟然能激发并引出这种质量的投稿。
你如何解释举办这样的奖项活动？为什么你能得到如此高质量的投稿？奖金池无关紧要吗？是不是只关乎你的声誉和触达面？
我也在想奖金池到底有多大相关性。我们一直在思考这个问题，因为我们2021年第一次办，并计划每年继续办下去。如果我是个呼风唤雨的人，想要一个大奖金池的话，大概能筹到多得多的钱。我不认为那会改变内容的质量，因为我得到的印象是，人们的根本动机不是赢得某笔现金奖励。
当然，他们投入那些时间并不是做了期望值计算。如果是，那是一个糟糕透顶的计划。而且如果说有什么影响，那么更高的奖金池可能反而是个问题。假设每位获奖者有十万美元奖金，那就真会出问题：有人会，而且人们确实会，妄想着自己很可能就是赢家，他们可能真的会投入大量自己的资源，期待着赢得它。这就是一团糟的局面。我不想处在有人问“为什么我的没有被选为获奖者？！”的局面里，因为整个活动本来就不该是关于获奖者的。
也许对不了解的听众，我应该描述一下数学讲解之夏。
其实它的历史有点好笑，它始于一次实习生招聘：2021年，我想要几个实习生，基本上是在我的网站上做某件事，我发出了招聘启事。我收到了2500份申请，在申请的某处我提到，暑期里除了我希望他们做的主要任务之外，我会给他们自由，让他们做一件与网上数学讲解相关的、属于他们自己的事，我乐于提供一些指导，或者就是每周给他们一天自由去做这件事。我请他们给我简单介绍一下他们的想法是什么。
我在审阅所有申请时，因为数量很多，我感到很难过，因为常常有人会有一个小小的构想，说明他们想做什么。而在我心里想的是：“太棒了。你应该去做那个！你不需要我来做这件事。就用你的暑假去做它。”为什么不呢？
人们显然受到了“增添些什么”这个想法的鼓舞，而且就像我之前说的，当YouTuber是如今年轻人中最常见的职业志向。所以，作为对我在实习申请中不得不拒绝的那99%的人的某种安慰，我说我们要办一个叫“数学讲解之夏”的活动，我们会给你一个截止日期。我承诺在一个视频中介绍你们中的五个人。如果你觉得，你本来打算在我这里作为实习生做的那个占20%的项目是你很兴奋的事，那就把它变成百分之百的项目。无论如何都去做，我可以用在视频里展示它的形式给你这根小小的胡萝卜，并给你一个截止日期，说实话，有时候正是截止日期决定了人们是去做一件事，还是拖延它。
Brilliant.org 说他们乐意拿出一些现金奖励。我说，当然，为什么不呢？我不认为现金奖励有多重要，但它挺好的。这表明有人确实在乎，并且认真思考后做了一件事，而不只是编造出来的一颗金星，他们拿出了实实在在的东西来表示你被选为这项活动的获奖者。
但总的来说，它从来就不应该是关于评选获奖者的。它只是为了让更多人去创作东西。而且，如果说有什么的话，我其实很喜欢看到现有的教育者和老师们的作品，那可能不是想当YouTuber的年轻人倾注全部心血去做的，而是教育者在职业生涯中积累了大量关于什么才是清晰讲解的直觉，只是把它更广泛地分享出来。
所以，关于你的问题：是什么导致其中一些参赛作品有如此高的制作质量？答案的一部分可能只是，现在的工具太好了，个人有时真的可以做出相当不可思议的东西。
如果我说的是制作质量，那是我措辞不当，我指的只是整体的构成。
对，不过这里也有一个筛选过滤，对吧？第一年有1200份投稿，我在获奖视频里介绍了其中五个。所以当然，由于我选择介绍哪些的性质，它们必然不能代表常态。
但是，这么高质量的东西竟然出现在候选池里，这个事实本身。
我认为这有点触及你说的奇迹之年那一点。我觉得可能发生的是，有些人对某件事积累了大量势能，他们一直想做这件事很久了。而我们的希望是给人们一点推动。这里有一个截止日期。这里有一个小奖品。这里有一个承诺：如果你把它做出来，它不会石沉大海，而是有机会被更多人看到，我认为这一点绝对兑现了。
而且原因并不是人们可能预期的那样：我挑出获奖者，介绍这些获奖者，然后人们观看。大量的观看发生在我甚至开始查看它们的流程之前。这也是个意外：第一年我们收到了1200份投稿。我说，预计评审者在每件作品上最多花十分钟。所以可以更长，但不要指望有人会看更久。
但实际上，当我评审某件作品时，我想把整件作品看完。我绝对没有时间看这么多。我了解到，我需要大约两周的全职工作，才能看完100件这样的作品，并给出我想给的那种反馈。
为了应对超出我们人工审阅能力的问题，我们搭建了一个同行评审系统，基本上是由一个算法给人们成对地推送视频。
他们只需说出哪一个更好，然后它再给他们推下一对。在头两年，我们使用了黑客马拉松里常用的一个做这件事的工具。它的作用是：第一，给我们一个按质量大致排序的内容偏序列表。我们不需要它完美。我们只需要有很高的概率，让最值得获奖的五个视频出现在前100名的某个位置。
所以在这里算法不必完美。
关于YouTube算法，我了解到的一件事是：理论上，你会想对所有东西都用机器学习。你有一个巨大的神经网络，输入端有五十亿个视频，或者不管现有多少个，输出端决定向你推荐哪七个最好。这在计算上完全不可行。
我想这些都是公开信息。你必须做的是，先用某种代理指标作为第一轮，提名一个视频，使其有资格被送入由机器学习驱动的算法。这样你送进去的只有大约一千个候选。
所以，如果你做了一个很好的视频，它能否触达会喜欢它的人，真正的差别不在于算法的缺陷。算法大概相当好。差别在于用于提名内容、看它是否有资格入围的那些代理指标之间的不匹配。
用于提名的东西之一是理解共同观看图：如果你看了视频A，也看了视频B，然后我看了视频A。你同时看了这两个视频，就在它们之间建立了一条小小的链接，或者你和一大批其他人都同时看了它们，就在它们之间建立了一条链接，这样一旦我看了视频A，B在那个阶段就有可能被提名，因为系统认识到有很多共同观看。
我确信这件事要做到大规模仍然相当有挑战性，但比运行某个巨大的神经网络更有可能做到大规模。所以我认为，可能发生的是：由于有一批共同观看发生在同一个视频池上，你只需要其中一些视频拥有不错的触达并被推荐，对吧？因为那就像点燃一堆引火柴，然后如果其他视频好，如果它们会给人们带来好的体验，它们就不仅会被提名，而且会被推荐，从而重新触发那里的反馈循环。
这最终成了你能得到的最接近保证的东西：如果你做出了好东西，它是一件会让某个人满意的好作品，他们看完觉得学到了原本不知道的东西，而且呈现得很好，只要你能把它放进这个同行评审流程，它就会触达到人。它不会只是对着虚空呼喊。
而在这个例子里，去年有一百多个视频，在头两周之后观看量超过了一万。我知道从大局来看这很小，但对于一个新频道，讲一个小众的数学话题，能把它发布出去并让一万人观看，这很了不起。而这种情况发生在一百多个人身上，更是了不起。
这与奖金池无关，对吧？也就是说，动机可能是希望真正获得一些触达，并且在某种程度上确信会有一些触达。
具有讽刺意味的是，搭建整个同行评审系统的原因，首先是为了服务于评选获奖者。如果你只是说：“嘿，我们办一个观影节，大家互相看对方的作品。”不知怎的，它就没有同样的吸引力把人们拉进来。所以我认为，仍然有必要设置获奖者，并为这些获奖者提供一些实质的奖励。不过不需要很多。而且如果有什么的话，我觉得奖励过多可能会毁掉它。我还要说，其实总额是一万五千美元，因为我们给20个不同的荣誉奖各500美元，至少今年如此。就为了让世界上多一些数学课程而可以投入的钱来说，这仍然相当有限。
§11（1:20:44）- 自学
我也看了很多荣誉奖作品，因为它们的主题正好是我感兴趣的。这就像芝加哥大学校长说过的话。他说，我们可以把录取的人都丢掉，再选下一批一千人进我们的班级，也不会有任何区别。
顺便说一句，我真的很钦佩，不仅是你通过视频直接提供的教育，已经触达了数百万人，还有你在搭建这样一种方式，让更多人来贡献，去讲你自己没时间讲的主题。我真的很钦佩你在做这件事。
如果你在自学一个涉及数学的领域，比如是物理或类似的东西，会遇到这样的问题：你得弄清楚如何把它表述成导数或积分，然后从那里出发，我能把这个积分算出来吗？对于一个自学量子力学的人，他们已经弄清楚了如何写出正确的数学方程，你会给他什么建议？他们是否必须有能力从那里一路推到最终结果才算理解，还是可以说，我可以把这部分抽象掉。我理解从物理本身出发如何更宏观地设定这个问题。
我认为很多自学者搬起石头砸自己脚的地方，在于跳过计算，认为那些只是附带的，与核心理解无关。但实际上，我确实认为，仅仅通过把某些计算反复做上若干遍，你就能建立起大量直觉。其中有些也许最终并没有那么重要，那样也就算了，但有时恰恰是它塑造了你对一个结果的实质究竟来自何处的感觉。
我不知道，也许你会意识到：“哦，原来是因为那个平方根，才会有这种衰减。”而如果你没有真正做过这个练习，你只会带着这样的印象离开：某某东西会衰减，但在其他情形下就不衰减，却并不真正理解这个高层次结论中的核心部分是什么，而那才是你真正想记住的东西。
下功夫做计算，是你巩固所有这些底层直觉的地方。而没有作业这种强制机制，人们就是不会去做。所以我想，这是我学到的毕业后与大学期间的一大区别。
毕业之后，学东西时很容易不小心就跳过这一步，结果就没那么入脑。所以我认为，当你在读某样东西时，身边放一个笔记本和一支铅笔，应当被视为真正阅读过程的一部分。
如果你过于依赖阅读、查资料和在脑子里想，也许这也能让你有所收获，但杠杆率不会像本来可能的那么高。
从什么样的性格最受益的角度看，更多的自学会有什么影响？显然，最受益的人是有差别的。在大学课程里，每个人都必须做作业，但也许有些人更适合那里布置的那类工作；而相比之下，所有这些东西在YouTube上都能找到，还有用于练习的教科书等等，但你得有尽责性，才能真正去追求它。
你怎么看待这种更现代的方式的受益者分布？你可以得到任何你想要的东西，但你得逼自己去获取。
有一本很好的书，实际上与你早先的一些问题有点关系，叫《Failure to Disrupt》（《未能颠覆》），回顾了教育技术的历史。它试图回答这样一个问题：为什么会反复出现这样的循环，人们说某某技术，几乎总是把更多的讲解带给更多的人，承诺将颠覆现有的大学体系或现有的学校体系，却似乎从来没有做到。
它强调的一点是，这些技术会造成怎样的分层：对那些本来就有动力、或者在某种意义上本来就处在顶端的人来说，它们确实非常非常好；而对那些表现较差的人来说，他们最终挣扎得最厉害。
也许这是由于因果混杂：使一个人在传统体系里不至于表现糟糕的同一个因素，也意味着他们能更好地利用现有的大量工具。
我不知道这是否回答了你的问题，但我想再次强调，要让人们真正学到东西，最重要的大概不是讲解，也不是可用讲解的质量，因为自从印刷术出现以来，这一点就不成立了。不是字面上完全不成立，因为也许图书馆的可及性没有你希望的那么普及。但只要人们有动力，他们就能获取到讲解。
最重要的反而是社交因素。你最好的五个朋友是否也对这些东西感兴趣？在学习更多东西这件事上，他们倾向于把你往上推还是往下拉？或者你有这样做的理由吗？你想得到一份工作，或者想进入一个领域，在那里你就是必须理解某样东西；或者你正在做一个个人项目？
有吸引人的个人项目和鼓励你的朋友圈，大概比网上讲解的平均质量能起的作用要大得多，因为一旦你让一个人有了动力，他们就会去学，而如果有好的讲解而不是差的讲解，这个过程也许会更顺畅，也能避免有些人从这个过程中退出，这很重要。
但如果你一开始就没能激励他们进来，那么哪怕你在每一个可能的主题上都有世界一流的讲解，也无关紧要。实际上就是对着虚空呼喊。
我不知道让更多人投入某件事的最佳方法是什么。我有过一个想法，这是那种在实践中永远做不到、更像是你会为之写一部小说的事情：如果你想要完美的学校，也就是一个你可以放进一些学生，并希望他们得到你所能提供的最好教育的地方，你需要做的是——比方说这是一所高中。你安插很多非常有魅力的高中生“卧底”作为演员，让学生们对他们产生好感。然后，不管你想让他们学什么，这个“卧底”都得表现出对它的某种兴趣。他们会说：“哦，他们对查尔斯·狄更斯真的很感兴趣。”他们表达出这种兴趣，然后暗示说，如果你的目标学生也跟他们一起读狄更斯，他们会对那个学生更感兴趣。
如果你以这种方式对环境进行社会工程，它让学生真正学到东西的效果，大概会比我们能做的任何其他事情都高出好几个量级。实践中永远不可能真的这样行得通，但至少把它看作一个终点：“好，这种互动模式在教育上会是超级有效的。有没有什么东西能接近它？”
能接近它的东西包括：留意你孩子的同伴圈，这是父母很自然会做的；或者，好吧，不必是恋爱上的好感，也可以是对老师的尊重。那是一个他们真心尊重和仰慕的人，这样当他说读狄更斯会有所教益时，这话就真的落到了实处。
把那个当作典范，然后让其他一切去逼近它，我要强调，这与网上现有的讲解质量毫无关系，在最好的情况下，它只是让你能够在某人已经足够感兴趣之后，润滑这个过程。
你找到了 Replika 的一个新用例。
是啊。我的意思是，我不是说我们应该这么做，但想想那会有多有效。
最后一个问题。这是我早该追问的，就是你打算当若干年高中老师的计划。你打算什么时候做，希望从中得到什么？
我会说没有具体计划。我希望在我也有年幼孩子的时期去做，这样才合理。也许很多人都会这么说，我有些朋友就想，等自己的孩子上高中时，那就是他们想当高中老师的时候。
我想有两件事是我想从中得到的。其中一件，正如我一直强调的，你会逐渐失去对不懂是什么感觉、对做学生是什么感觉的体会，所以保持那种联系，这样我就不会随着时间推移变得越来越迟钝，感觉很重要。
另一件事是，我希望生活在这样一个世界：更多精通STEM的人花一些时间去教书。我只是觉得，这是你能想到的让更多人真正投入数学的杠杆率最高的方式之一。
所以我想鼓励人们这样做，并呼吁行动。就是花一些时间，也许不是整个职业生涯，而是一小段时间。在教学方面，没有像某些国家那样每个人都要服两年兵役、去走一遍服务历程那样顺畅的体系。
在没有这样一个教育体系的情况下，有各种临时性的办法，比如特许学校可能有应急资格认证体系，让科学老师得以进入。还有 Teach for America 这样的项目。
有足够多的方式，让人们可以花一小段时间去做这件事，而这些渠道目前大概还没有饱和，如果更多人这样做，世界会变得更好，而如果我提出这样的建议，却不真正践行自己的话，那就是伪善了。
我觉得这是一个很好的收尾，Grant。非常感谢你来参加播客，说真的，你是我非常非常钦佩的人之一，你为数学教育格局所做的事情真的很了不起。所以和你交谈是一件乐事。
谢谢你这么说。我玩得很开心。